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第一章中我们考虑Rn上强极大算子的可积性。对Rn上局部可积的函数f，它的H-L极大函数定义为
M(f)(x)=supx∈Q1/|Q|∫Q|f(y)dy.
其中Q表示方体。而它的强极大函数如下定义
MS(f)(x)=supx∈P1/|P|∫P|f(y)dy.
其中P表示边平行于坐标轴的矩形。此外，定义多重极大算子
M*(f)(x)=Mn…M1(f)(x)，
其中Mj表示第j个坐标轴方向的一维H-L极大算子。
当f有紧支集时，关于它的极大函数的可积性Stein在[66]有个著名的结果：对任意有限测度集E,M(f)∈L1(E)当且仅当f∈Lln+L(Rn)。
另外Jessen-Marcinkiewicz-Zygmund在[38]中证明了：对任意有限测度集E,M*(f)∈
L1(E)当且仅当f∈L(ln+L)n(Rn)。这个结果也可参看Fava-Gatto-Gutiérez[31]。因为
MS(f)≤M*(f)，所以当f∈L(ln+L)n(Rn)时对任意有限测度集E,MS(f)∈L1(E)。
在文献[31]中他们猜测：如果对任意有限测度集E，MS(f)∈L1(E)，那么f∈L(ln+L)n(Rn)。在[1]和[35]中他们分别证明了存在许多函数f∈Lln+L(R2)使得对任意有限测度集E，MS(f)∈L1(E)。
在第一章中我们用更简单的方法证明了他们的结果，更主要的是这里的方法适用于所有维数，而[1]和[35]很难应用到高维欧氏空间。有趣的是高维空间对函数的要求和两维是一样的，我们主要证明了以下定理。
第二章中我们考虑一类H1粗糙核极大奇异积分算子的弱(1，1)有界性。对于f∈S(Rd)及Ω∈L1(Sd-1)满足∫Sd-1Ω(x′)dx′=0，定义TΩ(f)(x)=limε→0+∫|x-y≥εΩ(y/|y|)/|d|f(x-y)dy.
在第三章中我们主要建立以下两个定理。
定理3.1.3当Φ(x，t)=(t，φ(x1)γ(t))时，存在φ∈C∞(R1)以及γ(奇或偶)满足(3.1.2)-
(3.1.3)，但是HΦ，γ(≡HΦ)不是L2(R2)有界的。事实上这里的φ可以是性质相当好的解析函数。
定理3.1.4当Φ(x，t)=(t，φ(x1)γ(t))时，如果φ=P是R1上的实多项式，γ∈C2(R1)且γ(0)=γ′(0)=0，γ″(t)＞0(t∈(0，∞))，γ是奇或偶函数，
另外如果再存在正数λ和M使得
γ″(t)/γ′(t) -γ″(s)/γ′(s)≥ λ(s - t)M/(s+t)M+1,0＜t＜s,
那么我们有‖HPγ(f)‖2≤C‖f‖2(( )f∈S(R2))，其中C只依赖于λ，M和多项式P的次数。
这里的结果表明如果γ(t)替换成φ(x1)γ(t)，那么即使φ和γ都有相当好的性质以前的定理也未必成立。
第四章主要研究了一般非倍测度下极大奇异积分算子作用在L∞和RBMO上的性质。
第五章考虑两维理想的不可压缩流体的Euler方程
{ ( )u/( )t + u· ▽u = ▽P
▽ · u = 0 x ∈ R2, t ∈ (0, ∞)
u(x,0)= u0(x)
其中u=(u1(x，t)，u2(x，t))和P=P(x，t)分别表示点(x，t)∈R2×(0，∞)处的速度和压力。
u被称为方程在(0，∞)上初值为u0的弱解，如果它满足下面条件：
{ (a)u∈Lloc2 (R2× (0, ∞));
(b) fu(t)· ▽φ = 0,( )φ ∈ C0∞(R2), t ∈ (0, ∞);
(c)∫0∞∫R2(u·( )t/( )t +∑2k,l=1ukul( )fk/( )xl)dxdt= -∫R2u0·f(·，0)
( )f ∈ C0∞([0, ∞) × R2)) and ▽· f = 0.
对于光滑的而且有有限能量的初始速度人们在上个世纪三十年代就知道方程存在唯
一的全局解，这也是著名的Beale-Kato-Majda[4]判别法的直接推论。
在第六章中我们考虑三维不可压缩Euler方程
{( )u/( )t+u·▽u+▽P=0
▽·u=0 x∈R3,t ∈ (0, ∞)
u(x, 0) = u0(x)
其中u=(u1(x.t)，u2(x，t)，u3(x，t))和P=P(x，t)分别表示该流体在点(x，t)∈R3×(0，∞)
处的速度和压力。