令N是全体非负整数组成的集合.对正整数≥ 2及有限整数集合A ={a0,a1,...,a1-1},令l(A)表示集合A中最大元素与最小元素的差,hA表示A中h个元素(可重复)的和所组成的集合,h^A表示A中h个两两不同元素的和所组成的集合.给定正整数r,定义有限整数集合A的和集hA与限制和集h^A的基数问题是和集中的重要课题.对无限整数集合A {a1,a2=...}(?)N,记D(A)= gcd{ak+1-ak: k= 1,2,...}.若所有充分大的整数n均可表示成集合A中至多h个元素(可重复)的和,则称集合A为N的h阶渐近基.本文主要工作分为两个部分.在第一部分中,我们给出了有限整数集合A在限制条件l(A) ≤ 2|A|-5下,其3^A基数的最好下界.同时我们还研究了一定条件下,h^A和h(r)A基数的问题,主要结果如下:(a)若l(A)≤ 2|A|-5,则|3^A|≥2|A|+l(A)-7.(b)对于整数h≥3,若l ≤2|A|-2h+1,则|h^A|≥(h-1)|A|+l(A)-h2+2.(c)设t,h为非负整数且t≥1,h≥t+1.令 k≥h+ t+1,其中 0 ≤ri≤ k-t-2, i = 1,...,则(d)设h,r, m,t为正整数且r≥2,h= mr+t,0≤t≤r-1.若l(A) ≤2|A|-2(m + t)-1,则(i)当 r < h ≤ 2r时,|h(r)A|≥(h-m-r+2)|A|+(m+r-2)l(A)-3(h-r)+1.(ii)当 2r