尽管线性时不变时滞系统是一个古老陈旧的课题并且得到了广泛的关注,但是其研究是非常困难复杂的并且许多主要问题都没有被完全探究。与有限维系统不同,时滞系统是一个具有无穷多个特征根的无限维系统,而且这些系统的特征根的分布还不能被现有的数学方法完全研究。更加不同的是,时滞系统的一个临界虚根对应无穷多个临界时滞。这使得研究时滞系统变得非常困难,因此时滞系统的完全稳定性至今没有被彻底解决。据目前所知,解决完全稳定性的关键性质就是系统临界虚根的一致性,一致性仅仅在一些特殊的系统中被探讨过,目前还没有一般性的证明。包括一致性证明在内,本文的主要工作和结论如下：基于解析曲线框架,本文给出了Retarded时滞系统临界虚根一致性的完全证明。将临界虚根的渐近行为同Puiseux级数联系起来,同时将频域扫曲线的渐近行为同对偶Puiseux级数联系起来,通过探讨Puiseux级数对之间的内在性质来证明一致性定理。由于非退化情况的一致性证明非常简单,在本文中主要讨论退化情况的一致性。退化情况的证明非常复杂且需要大量的工作,因此将退化情况分为三种子情况并且给出逐一证明。值得一提的是,本文中的一致性证明适用于所有Retarded系统,无论其临界虚根是单根或者重根。类似于Retarded系统的结论,本文将Neutral算子的稳定性(Neutral系统稳定的必要条件)嵌入到频域扫方法中并且将临界虚根的一致性推广到Neutral系统中。可以通过观察频率足够大时的频域扫曲线来判断Neutral算子的稳定性,从而不再需要将Neutral系统从标量形式变换回矩阵形式。至于Neutral系统临界虚根的一致性,本文采用与Retarded系统相同的方法来证明。利用数值分析软件Matlab实现频域扫方法,同时利用DDEBIF-TOOL工具箱完成时滞系统临界虚根渐近行为的数值仿真。