解析函数是复分析中一个重要的研究对象，此类函数具有许多有用的性质，如:唯一性，积分与路径无关，延拓性等。　　作为解析函数的推广，拟共形映射是由Gr(o)tsch于1928年在研究Riemann映射定理时提出来的，随后引起人们的极大关注。进一步，Beurling和Ahlfors的研究说明上半平面的拟共形映射在实轴上的限制具有很好的性质，这类映射被称为拟对称映射。拟对称映射的一般定义是由Tukia和V(a)is(a)l(a)于1980年给出。自此概念一问世，就成为一个重要的研究对象。很显然，拟对称映射一定是拟共形映射，故这类映射也是解析函数的推广。一个自然的问题是:此类映射是否还具有类似解析函数的延拓性质。这是本学位论文研究的第一个问题。　　1961年，John在研究平面局部拟等距映射的刚性性质时引进了John域的概念.自此，John域就成为了人们研究的一个热点。1999年，V(a)is(a)l(a)研究了欧氏空间中John域的扩张性.后来，此结果被推广到Banach空间情形。ψ-John域是比John域更广的一类域。人们自然会问:John域的扩张性是否对ψ-John域还仍然成立？这是本学位论文研究的第二个问题。　　1978年，Marito和Sarvas在研究逼近和内射问题时引进了具有比John域更强性质的一类域，即一致域.Vuorinen于1985年根据一致域的双曲特征定义了一类新的域:ψ-一致域。2015年，H(a)st(o), Klen，Sahoo和Vuorinen在研究ψ-一致域的一些几何性质时，提出了一个公开问题.这个公开问题是本学位论文的第三个研究问题。　　关于上述三个问题的研究构成此篇学位论文.本论文由四章组成，具体内容如下:　　在第一章中，我们介绍了研究问题背景和所得主要结果。　　第二章，我们研究了第一个问题，即Banach空间中拟对称映射的延拓性。证明了在一定条件下，两个集合上的拟对称映射在其并上还具有拟对称性.该结果推广了V(a)is(a)l(a)于1991年发表在Ann.Acad.Sci.Fenn.Math.上的相应结果。　　第三章，我们讨论了ψ-John域的扩张性，即第二个研究问题。证明了Banach空间中两个ψ-John域的并在一定条件下仍为ψ-John域.该结果推广了李雅湘和王仙桃于2010年发表在Ann.Acad.Sci.Fenn.Math.上的相应结果。　　第四章，我们研究了由H(a)st(o)，Klen，Sahoo和Vuorinen于2015年提出的公开问题。通过构造反例，我们给出此公开问题的否定回答。