【摘 要】
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这篇博士学位论文研究如下形式的非局部Schr?dinger方程其中A是一个微分算子,G(u)是非线性项,(t,x)∈R×RN,且N≥1.我们研究了两类非局部Schrodinger方程,主要结果如下:1.当算子(?),且非线性项G(u)=-(|u|2/Nu κ|u|pu)时,对应的方程是半波方程i(?)tu Du u2/Nu kuρu=0,该方程是分数阶Schrodi
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这篇博士学位论文研究如下形式的非局部Schr?dinger方程其中A是一个微分算子,G(u)是非线性项,(t,x)∈R×RN,且N≥1.我们研究了两类非局部Schrodinger方程,主要结果如下:1.当算子(?),且非线性项G(u)=-(|u|2/Nu κ|u|pu)时,对应的方程是半波方程i(?)tu Du u2/Nu kuρu=0,该方程是分数阶Schrodinger方程的一个特殊情形,也对应着半-相对论型Schrodinger方程中质量为零的退化情形.通常,称i(?)t D为半波算子.对该方程,我们分别考虑了1)κ=0的情形:令Q是方程DQ Q=|Q|2/NQ的唯一的径向对称的正基态解.当N=2时,我们证明了径向基态质量爆破解的存在性,且证明了方程的解u满足‖u‖2=‖Q‖2(基态质量守恒)和E(u)=E(u0)(能量守恒),同时,我们也证明了当t→0-时,解的爆破速率为‖D1/2u(t)‖L2～C(u0)/|t|.当N=3时,我们证明了类似于N=2时的径向基态质量爆破解的存在性以及爆破速率.2)κ=1的情形:令Qv是方程的解.(?)-Δuv i(v(?))uv-uv2/Nuv=-uv假设0
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