符号计算是传统逻辑消解和数值计算的补充和完善,在非线性代数方程组求解、几何定理证明、密码分析、机器人、生物信息等方面有广泛的应用。我国吴文俊院士提出的吴方法、张景中院士提出的不变量方法在几何定理机器证明方面都取得了里程碑的贡献,为符号计算深入研究奠定了坚实的基础。　　最近几年,随着大数据时代来临,一些关键应用问题的大量出现,符号计算逐渐从传统的计算机代数系统(CAS)转向符号数值混合计算、符号逻辑混合推理,其研究目标不再是符号计算工具的简单提供,而是利用符号计算的方法和思想解决重大实际问题。　　本文将就符号计算的结式理论和Grobner基方法进行深入的研究,探讨人工智能的基本问题-几何定理机器证明的代数方法和逻辑方法,并用符号数值计算的方法研究生物信息领域中的重大问题。主要工作和创新点如下:　　一、Dixon结式在求解一些复杂的非线性代数系统中有广泛的应用,但是判断KSY条件需要建立在复杂的理论和计算基础上。本文针对KSY条件的验证,提出了一种基于矩阵初等变换验证KSY条件的新方法,同时有效地得到在原方程的解满足一定条件下的Dixon结式;　　二、Grobner基方法是求解零维非线性代数方程组最有效的方法,最新的F4和F5算法对S-多项式约化作出了较大改进,大大提高了Grobner基方法的效率。本文基于对多项式的不同划分,提出了一种扩展S-多项式的计算方法,在满足条件的情况下,除首项外,可以将多项式的更多项引入到计算中来,这样得到的扩展多项式较原来的S-多项式有更低的阶,从而对某些情形提高了约化的效率;　　三、几何定理机器证明是人工智能的基本问题,早在1950年Tarski就创造性地提出了一种机械化的方法,但因其复杂度太高,至今无人实现。吴方法的提出有效地解决了这一问题,但是前提是需要保证每组三角列满足非退化条件,后来张景中,杨路证明了非退化条件可以改为更容易验证的弱非退化条件。在此基础上,本文研究了三角列的化简,提出每一个关于主元的系数都必须做相对单纯分解的准则,从而保证化简后的三角列不仅满足非退化条件,而且关于主元具有较低的阶。另一方面,由于吴方法不能生成类人的可读过程,本文进一步研究了基于Prolog规则的平面几何证明系统,并以实验说明了此逻辑方法的可行性以及良好的扩展性;　　四、药物动力学是研究药物在体内吸收、分布、代谢和排泄的量变规律的学科,是将动力学原理应用于体内过程,并用数学公式阐明药物在不同部位、浓度与时间三者关系的学科。药物动力学模型繁简不一,一室和二室模型因为数学处理较为简单所以常用,多室模型由于数学处理相当繁琐,因而应用较少。我们与四川大学华西药学院靶向药物及释药系统教育部重点实验室合作,以肝靶向药物DHAQ-PBCA-NP为例,建立了三室药物动力学模型,首先运用符号计算方法确定了解的形态和基本性质,然后根据转运参数的经验值完成了此三室模型的求解,并结合实验数据对转运参数的可靠性做出了分析;　　五、密码子表的起源是生物学中的重大基础问题,到目前为止依然没得到令学界公认的解释。本文创造性地提出了遗传“密码子盒”的概念,并在此基础上将密码子表转化为基于二部图的密码子盒模型。运用匈牙利算法可以计算出此密码子盒模型的最大匹配数是19,这一结果可以有效地解释密码子起源的进化学说,并给出密码子表的进化是朝着密码子盒模型实现完美匹配的方向进行的推论,这一推论也直观解释了现在可以合成蛋白质的氨基酸种类为什么是20种。最后据此模型预测了密码子表最大的进化可能为GGG将编码Asp,而不再编码原来的Gly。事实上,从信息学的角度,密码子表在编码时只能纠正部分密码子第三位碱基的出错,而密码盒模型能完成对其他位碱基出错的纠错,且匹配数越大,纠错能力越强的性质也应证了本文提出的密码子盒朝完美匹配进化的推论。