本博士论文大致由两部分组成,第一部分内容研究一类自仿射集的广义多重分形谱;第二部分内容将自仿Sierpinski地毯的几何结构进行了一定程度的推广,并利用这一推广的几何结构讨论了自仿Sierpinski地毯的平移交问题。我们将第一部分内容安排在第二至四章,将第二部分内容安排在第五章。第二章我们研究了一类由组频率诱导的自仿Sierpinski地毯的子集的Hausdorff维数。其困难在于由于仿射背景导致其自然覆盖不是一个有效的覆盖以及由于某些点的频率可能不存在导致维数估计的困难。利用密度定理,我们得到了其Hausdorfff维数谱,并找到了Hausdorff维数有显式表达的一类稠密子集;进而研究了其Hausdorff测度性质,给出了对应的Hausdorff测度为正有限的充分必要条件,进一步地,证明了当条件不满足时,其Hausdorff测度为无穷。第三章我们研究了一类组频率具有比例关系的自仿Sierpinski地毯的子集。利用测度的Hausdorff维数,我们证明了:存在一个满维概率测度支撑这一类集合,从而得到了其Hausdorff维数谱,这一结果可类比于在自共形情形得到的关于Hausdorff维数的变分原理。特别地,给出了其Hausdorff维数有显式表达的一个充分条件;得到了对应的Hausdorff维度为正有限的充分必要条件。第四章我们研究了一类由“纤维”码诱导的Lalley自仿集。利用网测度技巧,我们建立了此情形下的密度定理,利用它得到了其Hausdorff维数和Packing维数,证明了它是一个正则集,而Lalley自仿集不是正则集。第二部分内容安排在第五章,我们将自仿Sierpinski地毯的几何结构进行了一定程度的推广,得到了一个我们称为变尺度的自仿Sierpinski地毯,本质上是统计自仿射集。关于自仿Sierpinski地毯的随机化有很多方式,Lalley利用分枝过程有关技巧研究了一种随机化自仿Sierpinski地毯,它要求在自仿Sierpinski地毯的几何构造的每一步随机选择保留下来的长方形,但不同步骤限定的是同一个压缩,得到了一些高度不平凡的结果;本文对自仿Sierpinski地毯的随机化,在自仿Sierpinski地毯的几何构造中不同步骤允许不同的压缩,但同一级的压缩中各个被保留下来的长方形的位置和个数是相同的。通过引进“混合”测度,在一定技术条件限制下,我们证明了:存在一个满维不变概率测度支撑变尺度的自仿Sierpinski地毯,从而得到了其Hausdorff维数,同时得到了其Packing维数和Box维数。利用这一结构,借鉴Cantor集的平移交的处理技巧,在一定技术条件下我们解决了自仿Sierpinski毯的平移交问题。