随机微分方程在经济、生物、医学、金融和工程等很多领域有着极其广泛的应用。然而这类方程极少能得到解析解,因此很有必要构造数值方法求解。本文构造了两类数值方法：分裂步(θ1,θ2,θ3)方法和高阶分裂步(θ1,θ2,θ3)方法,这些方法包含很多经典的方法,如：Euler方法、分裂步θ方法、分裂步单支θ方法、随机θ方法、向后Euler方法、分裂步向后Euler方法、Milstein方法、漂移分步向后Milstein方法和随机θ-Milstein方法等。我们在非全局Lipschitz条件下,研究方法的强收敛性和均方稳定性。论文分为六部分：第一章,我们先介绍随机微分方程、随机延迟微分方程、带泊松跳的随机微分方程的应用背景,回顾随机问题数值分析的一些基本概念和常用不等式,然后概述数值方法收敛性研究现状,并给出本文的工作概要。第二章提出分裂步(θ1,θ2,θ3)方法,对漂移项系数满足单边Lipschitz条件、扩散项系数满足Lipschitz条件的非线性非自治系统研究方法的强收敛性,证明当θ2≥1/2时方法是均方收敛的；如果漂移项系数进一步满足多项式增长条件,则其均方收敛阶是1/2。同时还得到方法的均方稳定性结果。在此基础上,进一步将上述结果推广到带跳的随机微分方程情形。第三章在较弱条件下进一步证明了补偿分裂步(θ1,θ2,θ2)方法的强收敛性,更准确的说,所要求的条件漂移项系数和扩散项系数都满足局部Lipschitz条件、带跳扩散项系数满足全局Lipschitz条件以及它们满足一组合单调性条件。这些条件允许扩散项系数是高度非线性的。第四章把分裂步(θ1,θ2,θ3)方法扩展到用于求解随机延迟微分方程。在扩散项系数和漂移项系数都满足局部Lipschitz条件和组合条件下,我们得到该方法的强收敛性。特别地,这些条件允许扩散项系数是高度非线性的。第五章在前面方法基础上提出高阶分裂步(θ1,θ2,θ3)方法并用来求解由非交换噪声驱动的非自治随机微分方程。在漂移项系数满足多项式增长和单边Lipschitz条件而扩散项系数满足线性增长的条件下,证明了该方法是1阶强收敛的。第六章研究高阶分裂步(θ1,θ2,θ3)方法的均方稳定性。在适当步长的限制下,得到高阶分裂步(θ1,θ2,θ3)方法的线性均方稳定性和非线性均方指数稳定性结果。随后进一步研究θ2=θ3的特殊情形,对实系数线性方程证明当θ2≥3/2时,高阶分裂步(θ1,θ2,θ2)方法是无条件均方稳定的；对漂移项和扩散项系数满足一个较弱的组合条件的非线性方程,证明当步长适当小时方法是均方指数稳定的。