欧拉Gamma函数是特殊函数论的基石,被广泛应用于概率统计、数学分析、物理等多种学科中.与Gamma和Psi函数相关的函数具有一个很优美的性质—完全单调性和对数完全单调性,这为研究不等式提供了一个有力工具,在很大程度上推动了不等式理论的发展.文章通过对与Gamma函数和Psi函数有关的函数的(对数)完全单调性的研究,建立了一些不等式.文章主要内容包括：首先,文章利用Taylor展开式、Gamma函数(Psi函数)的级数表达式和积分表达式完善了函数Gα,β(x)(其中参数α∈R,β≥0)及函数1/Gα,β(x)在区间(0,∞)上的对数完全单调性和相关不等式,将它们对数完全单调的充分条件扩大.具体如下：(Ⅰ)当β∈(0,2/1+2/√3)时,若α=≤min{h2(β),3(β)},则Gα,β(x)在(0,∞∞)上是对数完全单调的.(Ⅱ)当β∈[0,2/1-6/√3]时,若α≥,h3(β),则函数1/Gα,β(x)在(0,∞)上是对数完全单调的.(Ⅲ)在(Ⅰ)、(Ⅱ)的基础上研究了不等式,并通过对参数取特殊值,得到一个简单对称的双边不等式,该不等式对阶乘数之乘积与Πk=1/nkk的商做出估计.其次,文章构造了一个新的与Psi函数有关的函数Fλ(x)(参数λ∈R).利用完全单调函数的性质及已知函数的单调性证明了函数最(x)在x∈(0,∞)上完全单调当且仅当λ≤2.证明方法新颖巧妙.并利用该函数完全单调性建立了一个新的不等式.