线性和非线性矩阵方程是数值代数和非线性分析中研究和探讨的重要课题之一.它们在鲁棒控制、动态规划、神经网络、卫星编队保持、航天器控制等科学和工程计算领域中有着广泛的应用.本文采用控制不等式的方法和矩阵特征值和奇异值的特殊性质讨论了定常系统下的Lyapunov矩阵微分方程解的特征值和(包括迹)的下界估计及时变线性系统下的Lyapunov矩阵微分方程解的特征值的积(包括行列式)上下界估计.本文分为三章:第一章,介绍了Lyapunov矩阵微分方程的应用背景和研究现状,给出本文所涉及到的记号和定义.第二章,利用矩阵特征值和奇异值的性质,指数矩阵乘积的特征值不等式,经典特征值不等式和Ho¨lder不等式,探讨了定常系统下的Lyapunov矩阵微分方程解的特征值和(包括迹)的下界估计,进一步给出数值例子说明它的可行性及优越性.第三章,运用矩阵的Schur三角化定理和矩阵乘积的导数运算获得一个关于矩阵特征值的常微分方程,然后通过解此方程,并结合控制不等式,几何平均不等式和Ho¨lder积分不等式等经典不等式,给出了时变线性系统下的Lyapunov矩阵微分方程解的特征值的积(包括行列式)上下界估计,最后数值例子和图形说明其有效性和可行性.