分数阶偏微分方程是一种描述反常扩散现象的行之有效的方法.基于不同的应用背景,学者们提出了不同形式的分数阶导数模型.由于通常情况下分数阶问题不存在可用的解析解,数值方法在这些模型的实际检验和应用中起着举足轻重的作用.不同于整数阶导数,分数阶导数具有(弱)奇异性、非局部性,有时甚至还涉及时空耦合性,这给数值方法的设计、分析和实施带来了不少困难和挑战.因此,虽然分数阶偏微分方程的数值解近几十年来受到科研人员的大量关注,也取得了不少进展,但它仍然是一个充满活力的学科,还有不少问题亟待解决.我们将探讨一些具体模型的数值解决方案.本文有下述章节构成:第一章,概述论文的研究背景和主要内容,包括反常扩散的概念、几种重要的分数阶导数模型、分数阶偏微分方程数值解的研究现状,以及本文的研究内容和创新之处等.第二章,探讨回火分数阶Laplace方程的Riesz基Galerkin方案.回火分数阶Laplace算子是以积分形式给出的导数,是分数阶Laplace算子的推广.在统计上它表示对称的回火-稳定L′evy过程的生成子,在求解粒子的首次退出时间和逃逸概率方面有着重要的应用.本章将做三个方面的工作,即齐次边界条件下回火分数阶Laplace方程Galerkin弱解的定义及相应变分形式的适定性分析、Riesz基下的误差估计及有效的数值实施,和非齐次边界条件的齐次化处理等.第三章,给出回火分数阶Laplace方程的有限差分方案,包括差分格式的构造和相应代数系统的预处理.我们的差分格式可用于处理一般的非齐次边界条件,并且它们的收敛速度依赖于精确解在Ω上的正则性而不是在全实轴R上的正则性.第四章,发展含积分-微分型回火分数阶导数的偏微分方程的有限元方案.该类分数阶模型由文献[9,17,144]给出,它们是相应的Remiann-Liouville分数阶模型的推广.目前求解它们比较完善的数值方法是有限差分法,其有着严格的稳定性分析和收敛性估计,其它的方法则主要集中于进行一些数值模拟.本章首先给出回火分数阶导数的一些变分性质,然后建立一类给定模型的Galerkin和Petrov-Galerkin有限元求解方案,并给出严格的理论分析和有效的数值实施.第五章,探讨欠扩散方程的轮廓积分或有理逼近方案.轮廓积分和有理逼近在求解经典的抛物方程时有着非常广泛的应用,然而当前利用它们处理时间分数阶偏微分方程的文献却很少.实际上时间分数阶导数的非局部性质使得这类方法的应用显得更加自然,也有着更大的优势.本章首先给出该模型有限元空间半离散格式的稳定性和收敛性分析,然后提供三种轮廓积分或有理逼近方案用于处理时间分数阶导数,并就每种情况下遇到的具体问题给出了具体的解决办法.该算法解决了时间分数阶偏微分方程长时间历程计算所面临的计算量和存储量过大的问题.第六章,介绍回火分数阶Feynman-Kac方程的数值逼近方案.该模型由文献[179]给出,被称为向后的回火分数阶Feynman-Kac方程,它的精确解表示粒子轨道的泛函随时间的演化.处理该模型有两个方面的困难:一是该方程的时间分数阶导数是时-空耦合的,二是它反应项前面的符号与我们通常遇到的模型相反.本章首先给出了对时间分数阶导数和反应项的合理逼近,然后在时空耦合范数下证明了全离散格式的稳定性和收敛性.第七章是对本文的总结以及对未来工作的展望.