基于一阶薄壁梁理论的几何非线性分析

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在建筑、桥梁、航空航天以及船舶车辆等领域中,薄壁结构得到了广泛的运用,因此准确、快捷的分析理论与方法是该方向的重要研究内容。为了便于应用,广泛采用的分析方法就是在已有理论的基础上建立薄壁梁单元,本文的主要目的是基于一阶薄壁梁理论得到适用于线性问题和几何非线性问题的任意截面形式的薄壁梁单元。首先基于一阶薄壁梁理论,通过将截面位移和转角分为不同的两部分,得到了挠度和弯曲转角以及总扭转角和自由翘曲转角之间的关系,并给出单元节点的状态向量,即包括应力场也包括位移场的参数,状态向量为14阶。基于一阶薄壁理论解析解,除总扭转角和自由翘曲转角采取双曲插值函数外,其它参数均采用多项式函数表示。挠度和弯曲转角以及总扭转角和自由翘曲转角的插值函数满足一阶理论所得关系,避免了剪切锁死,并可减少单元节点数目。根据位移场和应力场的理论表达式,应用迁移矩阵法得到单元两节点之间的关系,经过数学变换进而可得到新型薄壁梁单元刚度矩阵。为得到在杆件变形过程中涉及的坐标系之间的转换,给出基于方位角的坐标转换矩阵。基于挠度和弯曲转角以及总扭转角和自由翘曲转角之间的关系以及非线性的位移-应变关系,依据von Karman大变形杆非线性分析理论,建立合适的局部坐标系,利用更新的Lagrange方法,通过虚功原理推导切线刚度。在推导过程中,采用内力作为广义应力,而截面位移参数作为广义应变,可以得到以内力和截面位移参数的方程,结果表明轴向力的作用在非线性中占主要部分。另外,由于单元构型在变形的过程中不断变化,所以要实时更新转换矩阵,本文给出了更新坐标转换矩阵的新方法。最后根据所建立的梁单元,依据Python语言,编制了相应的有限元分析程序,通过对不同类型的实例的分析,与经典理论的解析解和有限元软件的数值解对比和验证,结果表明了本单元的准确性。
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