组合数学是现代数学领域中发展较为活跃的分支之一,而正整数拆分问题是数论、组合数学、图论及其应用研究的一个重要问题之一.在1699年,Leibniz首次提出了正整数的拆分问题,在他未发表的手稿中也多次提及正整数拆分问题.当Euler(1799-1871)证明许多优美而重要的拆分定理以后,正整数的拆分问题就发展成为一种比较完整的拆分理论.随着正整数的拆分理论的不断完善和成果的广泛应用,吸引着众多学者的深入研究.H.Jordan、G.E.Andrews和邢林燕等深入研究了正整数的拆分与几何相结合产生的有关整边三角形、整边梯形的计数问题,在此基础上,本文着重研究周长为正整数n的整边k边形个数的计数问题.本文主要工作包括以下几个方面：(1)通过整边三角形最大边定理及枚举分析法,给出了新的整边三角形、整边等腰三角形以及整边四边形的计数公式.(2)针对整边多边形各边连接的顺序问题,研究了重集的圆排列和环排列问题,应用莫比乌斯反演公式给出任一整边多边形的边可以反演形成Φ(S)个不同的整边多边形的计算公式.(3)通过解不定方程x1+x2+…+xk=n,x1≤x2≤…≤xk,x1+x2+…+xk-1>xk的正整数解确定整边k多边形各边的长度.用重集Si={n1·x1,n2·x2,…,ni·xi}(其中n1+n2+…+nk=k,n1·x1+n2·+…+n1-x1=n,x1<x2<…<xi,i=p1,p2,…,pt)表示不定方程的解集,给出了周长为正整数n整边k多边形个数的计数公式.