在可积系统与孤立子方程中,方程的可积扩展及耦合是研究的热点之一。带自相容源扩展是一类重要的扩展与耦合,它在数学和物理学中有广泛的应用。平方特征函数对称是研究带源扩展的重要方法,已经在多种可积系统中得到应用。耦合NLS方程是经典NLS方程的又一种重要推广,通过施加非局部约化条件,可以得到多种非局部的可积系统。在研究这些扩展的可积系统中,Darboux变换发挥了重要的作用。本文第一部分主要研究扩展二维Toda链(2DTL)方程族的双线性等式。借助满足平方特征函数对称的辅助流,我们先得到了带额外辅助流的2DTL方程族的双线性等式,再通过将辅助流与任一时间流线性组合得到扩展2DTL方程族的双线性等式。通过定义其τ函数,我们进一步得到了扩展2DTL方程族的Hirota双线性型,并给出了特定情况下的例子,包括已知的带自相容源的Toda链方程以及一种全新的带自相容源的Toda链方程。本文第二部分构造了反空间,反时间和反时空NLS方程的单孤子和多孤子解。通过对AKNS系统族进行约化,我们得到了三种非局部NLS方程的基本Darboux变换,并归纳得到复合Darboux变换的精确形式。利用Darboux变换,我们构造了三种非局部NLS方程的单次孤子解和N次孤子解。此外,我们对非零边界值条件的单孤子解在不同参数下的性质进行了具体的研究。