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本文的主要目的是研究一阶拟线性双曲型方程组整体经典解的渐近性态及其奇性分析问题.本文的主要内容由以下几章组成.
在第一章中,我们对一阶双曲型方程组Cauchy问题的研究现状做了一个简单介绍,并对本文要研究的几个问题加以阐述,叙述我们得到的主要结果.
在第二章中,我们研究了具有弱线性退化特征的一般双曲型方程组的Cauchy问题的整体经典解的渐近性态.在周忆[102]中整体经典解的存在性结果的基础上,我们证明了:如果初值的全变差和L1模充分小,那么当时间t趋于无穷大时,双曲型方程组的解逼近于C1行波解的组合.
在第三章中,我们研究了具有常重且线性退化特征的一阶拟线性双曲型方程组Cauchy问题的经典解的整体存在性和渐近性态.我们证明了,如果初值的全变差充分小,C1解是整体唯一存在的.基于整体经典解的存在性结果,我们进一步证明了,当时间t趋于无穷大时,此解逼近于C1行波解的组合.
在第四章中,我们利用新的特征坐标方法和光滑映射的奇性理论,分析了一般的一阶拟线性双曲型方程组Cauchy问题的光滑解的大时间性态,给出了解在破裂点附近的奇性分析,得到了一般一阶拟线性双曲型方程组的奇性的破裂速率的一些精确估计.
在第五章中,我们研究了包含具有一径向状态函数的高维Keyfitz-Kranzer方程组在内的一类高维拟线性双曲守恒律方程组Cauchy问题的奇性分析和激波的形成.对这类方程组,我们给出了光滑解的破裂速率的精确估计和解在破裂点附近的完整描述,并且在破裂点的一邻域中构造了熵解,它包含唯一的从破裂点发出的激波曲面.
在第六章中,我们主要研究了在第三章中涉及的两个问题.证明了具有常重特征的拟线性双曲型方程组的特征值和特征向量与系数矩阵有相同的正则性.另外,我们还证明了具有常重特征的拟线性双曲守恒律方程组的正规坐标必定存在.