信号的稀疏恢复(或稀疏表示)是在信号处理、图像处理、计算机视觉、机器学习等领域被广泛研究的问题.因为大部分的信号(如视频和图像等)在一定的字典或者框架下具有稀疏表示,所以信号的稀疏恢复能够在很多领域成功应用.虽然已有的稀疏恢复算法可以有效地恢复稀疏信号,但是保证算法性能的理论条件都较为苛刻,对信号的稀疏性和最小尺度的非零元素要求较高.而在实际问题中,很多稀疏信号的非零元素具备一定的结构,因此如何通过稀疏信号的结构特征来更好的研究稀疏恢复问题,成了近年来的研究热点.目前,很多研究主要集中在分块正交采样矩阵,或“块稀疏”向量的恢复问题(向量的非零元素集中在少数几块).与“块稀疏”向量不同,“分片稀疏”向量更具一般性,并以分块正交采样矩阵作为特例.本文主要研究分片稀疏信号的恢复理论和一些算法,通过对分片稀疏信号对应观测矩阵的分块结构进行分析,从而得到更松弛的信号稀疏度的理论上界和小尺度非零元素下界,并拓宽了一些现有算法可恢复解的理论范围.进一步通过在算法中引入分片稀疏条件,提出了三种分片稀疏恢复算法.因为分片稀疏恢复算法能够更好的保护小尺度非零元素,所以分片稀疏性在理论和实践上都比整体稀疏性更有优势.本文具体的研究工作如下:1.分片稀疏恢复理论(1)提出了向量分片稀疏性的概念,通过分析观测矩阵对应的分块结构,理论上改进了稀疏信号精确恢复的唯一性和可行性条件,这些提升的条件同时包括了稀疏恢复观测矩阵一般情形和分块正交矩阵对应的结果.(2)改进了恢复带噪稀疏信号的正交匹配追踪算法、Bregman逆尺度空间算法和基追踪去噪算法的可行性条件,从而提高了这些算法恢复稀疏解的可信度,也拓宽了算法成功恢复的适用范围.2.分片稀疏恢复算法引入分片稀疏性到已有的稀疏恢复算法中,提出了三种分片稀疏恢复算法:(1)受压缩采样匹配追踪算法和多块正交匹配追踪算法的启发,提出了分片正交匹配追踪(P_OMP)算法,此算法在更松弛的可行性条件下具有与压缩采样匹配追踪算法同阶的误差下降速率.进一步提出了阈值分片OMP(TP_OMP)算法,该算法具有自适应性,因而无需输入稀疏性先验信息,提高了算法的适用性.应用于散乱点曲面拟合的数值实验,显示出阈值分片OMP算法的有效性和稳定性.(2)针对分片稀疏信号存在非零元素尺度相差较大而难以精确恢复的情况,提出了带删除机制的分片Bregman逆尺度空间(P_ISS)算法.因该算法结构类似于正交匹配追踪算法,所以其运行速率较快,又因求解的是分片凸优化问题,故其收敛到l1稀疏解.数值实验表明相比现有逆尺度空间算法,分片Bregman逆尺度空间算法能够更好地保护小尺度元素不被噪音混淆.(3)通过对现有基追踪去噪(BPDN)模型引入信号的分片稀疏性,提出了基于Jaco-bi 迫近交替方向乘子算法的分片凸优化算法,即分片加权基追踪去噪(P_BPDN)算法.此算法通过多个加权参数来调节分片稀疏性,利用对加权矩阵AW-1分块结构的分析,给出了分片凸优化算法的性能保证和权参数的选取准则,应用于图像分割的数值实验表明此算法有效稳定.此外,还提出了一个伪启发式的参数选取算法(IRLS_dB)算法,用于上述类型的凸优化算法中正则化参数的自适应选择,相比其他选择方法能得到更好的结果.