从微积分理论形成以来,人们一直用微分方程来解释各种自然现象,不断地取得了显著的成效.微分方程来自人类的社会实践,又是解决实际问题的一个最强有力的数学方法.具有奇性的微分方程来源于物理、生物和医学等众多学科领域,具有重要的应用价值.在数学上,由于奇性条件对微分方程动力学性质具有重要影响,这使得具有奇性的微分方程的研究受到更广泛的关注.本文利用重合度拓展定理和临界点理论研究四类具有奇性的微分方程同宿解或周期解的存在性,此类问题一直都是微分方程理论研究中的热点问题.全文分五个部分,主要内容安排如下:第一章介绍了关于微分方程周期解和同宿解的研究现状以及发展趋势,概述本文的主要工作,并简单介绍一些基础理论.第二章研究一类具有奇性的二阶微分方程同宿解的存在性问题,利用Mawhin重合度拓展定理得到方程至少存在一个同宿解.第三章研究一类具有奇性的Rayleigh方程同宿解的存在性问题,利用重合度拓展定理得到方程有且只有一个同宿解.第四章研究一类具有奇性的排斥型中立型Rayleigh方程周期正解的存在性问题,利用Mawhin重合度拓展定理得到方程至少存在一个T-周期解.最后,第五章研究势函数局部二次条件下的一类具有奇性的二阶Hamilton系统存在类同宿解.