从给定的离散点的值去构造一个连续定义的函数,使得它与被逼近的函数在给定点的值完全一致,这样的问题称为插值问题。在信息的存储、处理、分析、传输日益数字化的今天,插值问题无处不在。多项式插值是整个数值逼近的基础,由于结构简单、便于计算和应用,它被广泛应用于方程求根、函数逼近、数值微分、数值积分、积分和微分方程数值解等。但是,高次多项式插值的龙格现象表明多项式插值的不灵活性限制了它的应用。有理插值适合于逼近有极点的函数,且收敛速度比多项式插值快,但是有理插值(如Thiele型连分式插值)涉及存在性问题和不可达点问题。鉴于这些原因,本文开展了混合有理插值等方面的研究。本文的主要工作可归纳如下: 在Newton-Thiele插值系数算法的基础上,本文进一步给出了求值算法,所得到的求值算法便于使用并具有继承性。给出的数值例子表明了算法的有效性。 为了解决传统的Thiele型连分式插值中遇到的逆差商不存在或不可达点的问题,研究了修正的Thiele型连分式插值。首先,本文给出了计算简便的不可达点判定方法,进一步给出了修正Thiele型连分式插值。 通过引入对称混合差商,得到了新的二元混合有理插值的有效计算方法;给出了误差估计;进一步研究了其极限形式,得到了函数的混合展开式。 将插值点集划分为一些子集(块),在每个子集(块)上选择插值,然后用类似于Newton插值、Lagrange插值或Thiele型连分式插值的格式进行装配,得到了各种新的一元或二元块混合有理插值格式。给出了块混合有理插值的算法和相应的误差估计。这些混合有理插值格式包含传统的Newton插值、Lagrange插值或Thiele型连分式插值作为特例。通过数值例子说明了新方法的有效性。 本文将传统的Lagrange插值方法和Pade逼近相结合,构造了一种新的混合有理插值。对于每个插值节点处给定的形式幂级数,先在每个插值节点处求得其Pade逼近,然后用Lagrange插值基函数对它们进行加权组合,从而得到一种新的混合有理插值----广义Lagrange混合有理插值。新的混合有理插值方法通过选择每个插值节点处的Pade逼近,可以获得不同的混合有理插值,且包含传统的Lagrange插值作为特例。为了得到更精确的插值,进一步研究了基于Pade型逼近和基于扰动Pade逼近的混合有理插值。给出的数值例子表明了新方法的有效性。 本文将文献[79]中的三次多结点样条插值方法用于图像插值,研究了三次多结点样条插值公式的逼近精度,给出了相应的边界条件,分析了作为插值核函数的三次多结点样条的频域特性。与三次卷积插值的比较表明,上述方法可获得更高质量的插值图像。通过引入更多的自由结点,本文构造了具有和三次卷积核函数相同的支撑和逼近阶、更高的正则性的新的三次多结点样条插值核函数,分析了插值的逼近阶并给出了相应的边界