过去的三十多年中,凝聚态物理中发现了大量的令人着迷的拓扑态,例如整数和分数量子霍尔效应,量子反常霍尔效应,二维和三维拓扑绝缘体,这些拓扑态通常是用一些整体的拓扑量子数而不是用序参量来区分。对处于周期性晶体势中的整数霍尔效应的拓扑性质首先是被Thouless, Kohmoto, Nightingale,和Nijs等人讨论的,他们用磁布里渊区上的陈数给出了霍尔电导的拓扑表示。这个结果后来又被推广到了分数量子霍尔效应。对于用Z2不变量来标志的量子自旋霍尔系统,陈数的概念也被推广进来,我们可以用很好定义的自旋陈数来区分平庸和非平庸能带拓扑。然而,对于在无序系统中计算陈数,以前一直是一个复杂而且费时的工作,对每一次的无序构型,数值计算都需要做成百上千次的严格对角化,这一问题甚至在没有相互作用的系统都仍然存在。因此,发展一种有效的可以直接计算陈数的方法显得尤为重要。另一方面,除了拓扑不变量,最近十年左右,能够反映量子力学基态波函数相位信息的量子纠缠,开始被人们用来标识拓扑序的态。人们认识到,在一些系统中,比如分数量子霍尔效应和Z2自旋液体,拓扑纠缠熵的存在意味着系统的长程纠缠,也就是拓扑序。另一个重要的进展是人们发现纠缠谱可以在各种不同的拓扑相中来揭示系统拓扑的边缘激发。然而,无论是拓扑量子数,还是纠缠性质,这些都是量子力学不可观测量,我们需要一些别的可测物理量将他们联系起来。此外,对拓扑绝缘体,Z2不变量有一个缺陷,就是无法应用到无序系统,这也迫切需要我们发展一些别的拓扑指标来弥补这一缺陷。在本论文中,我们研究了二维非相互作用的拓扑不变量和纠缠的性质,包括在干净和无序的系统。本论文包含以下四个章节。在第一章中,简要的介绍本文有关的理论和实验背景,处理问题的理论方法,以及文中所涉及的物理概念等。在第二章中,在有限的二维纯净或者无序系统中,我们利用耦合矩阵,提出了一种有效快速地计算拓扑不变量的新方法。这种方法对实际的系统只需要做一次严格对角化,而且具有很高的精度。比较于之前其他的方法,这种利用耦合矩阵计算陈数的方法是非常高效的。我们把这种方法应用到了Hofstadter模型和Haldane模型中,结果我们都得到了对应系统的正确的量子化的陈数,前提是只要费米能保持在体能隙中。特别地,对无序诱导的拓扑相变,我们得到的结果和已知的结果是一致的,可以显示当无序强度增大到临界值时,系统将发生量子相变,而且我们获得的临界值是和之前已知的结果是一致的。我们期望这种方法在拓扑量子数的研究中得到广泛的应用。在第三章中,我们研究了二维自由半填充费米子系统中的两部分纠缠、子系统粒子数、拓扑之间的关系。我们提出自旋投影的子系统粒子数,可以用来区别量子自旋霍尔系统和其他的态,无论自旋sz是否守恒。并且自旋投影的子系统粒子数可以用来很好地定义一个新的拓扑不变量一一自旋迹指标。我们定义的自旋迹指标可以用来演示量子自旋霍尔系统的量子相变。此外,我们还进一步把这个新的拓扑不变量推广到了无序系统。数值计算结果显示,它可以正确地描述系统中无序诱导的拓扑相变。最后,我们还研究了子系统粒子数的涨落和纠缠熵的关系：他们满足相似的面积定律,都主要由边界的激发贡献大部分的值。而且无论是对拓扑平庸的系统,还是具有非平庸拓扑的系统,子系统粒子数的涨落和纠缠熵之间存在一个不等式关系。此外利用子系统粒子数的涨落可以给出纠缠熵的一个下限估计。这使得纠缠熵,这个量子力学不可观测量,在实验上可以通过测量子系统粒子数的涨落来间接反映。在本文的最后一章,我们对本论文做一小结,并对未来的研究做了展望。