人们曾以为朗道对称性破缺理论描述了物质所有可能的相，直到在低维系统中发现不同拓扑有序态可以具有完全相同对称性，掀开了凝聚态物理的新篇章。关联多体相互作用在低维拓扑有序态中扮演着重要角色，一方面在以分数量子霍尔效应为代表的体系中，强关联多体相互作是形成拓扑序不可缺少的，另一方面在以二维拓扑绝缘体为代表的体系中，拓扑序可以在自由系统中定义，但要求它在弱关联多体相互作用扰动下保持稳定，允许的相互作用强度上限往往对应较强关联情形。这类体系缺乏一般性的处理方法，平均场失效，微扰论也不适用，因而数值方法显得尤为重要。在本文中，我们将使用数值方法模拟两类低维强关联体系中的拓扑有序态。 在第一部分中，我们首先回顾了一维中拓扑有序的Haldane能隙态，接着在S=2自旋链中构造了统一描述两种拓扑不等价共振价键态的自旋模型，调节参数可在两态间经历量子相变，然而模型基态一般不可严格求解。我们引入了矩阵乘积态虚时演化方法，它等价于作为一维数值严格解的密度矩阵重整化群方法。利用该方法，我们计算了基态能量密度的二阶导数，确认了在两类拓扑有序间的相变是连续二级相变，使用作为拓扑序判据的纠缠谱证实了临界线分隔的两相各自具有一致的拓扑序。最后计算了描述临界点的共性场论其中心荷为2，推测其为SU（2）4的Wess-Zumino-Witten模型。本工作首次发现了一类新的具有相同自旋的两拓扑有序态间的连续相变，证实了基态能量密度导数等朗道二级相变理论的重要概念仍可适用，并为对临界点附近拓扑序变化的进一步研究打下了基础。 在第二部分中，我们首先梳理了二维拓扑绝缘体的研究现状，指出仅有的少量考虑强关联相互作用影响的工作各自的不足，为此，我们引入了一种不依赖预先假设的较精确数值方法——费米子的行列式量子蒙特卡罗算法，并证明了Kane-Mele-Hubbard模型在半满时没有负符号问题。利用该算法，我们研究了该模型的零温相图，定出了拓扑绝缘体相转变到反铁磁莫特绝缘相的相变界，讨论了顺磁相中边缘上两粒子背散射作用的微小扰动会造成边缘态失稳的参数范围。最后，我们检验了可由拓扑绝缘体相在强相互作用扰动下变来的自旋液体相的一种自旋-轨道序。本工作中，我们用数值方法首次给出了强关联相互作用对拓扑绝缘体稳定性影响的可靠结果，定出了拓扑序不破缺的相互作用强度安全上限。