本文研究内容分两部分： 第一部分是基于局部径向插值型的二乘配点无网格法。 第二部分是结合差分法和无网格法思想的有限点差分法。 无网格法是求解偏微分方程定解问题的一种新的有效数值方法，它可以克服有限元法在处理不连续和大变形问题时不断需要网格重构的缺点。加权最小二乘无网格法作为无网格法中常用的方法之一，已在偏微分方程数值解法中得到应用。然而以往的基函数插值往往是基于全局插值，形成的矩阵的阶数比较大，因而计算量大。本文利用计算点支撑域内节点进行径向基函数插值，得到了基于局部插值的加权最小二乘无网格法。通过对Poisson方程和悬臂梁弯曲的计算验证了该方法的有效性，并对影响求解精度的若干因素作了讨论。 结合无网格法基于节点离散的思想和简洁的差分格式，本文提出了一种新的差分法——有限点差分法。该方法用任意分布的节点对区域进行离散，通过计算点邻域内的节点的Taylor展开式构造新的差分格式。新的有限点差分法一方面由于节点的选取可以是任意的，因而适应于形状不规则的任意区域，克服了传统差分法在不规则边界处理上造成精度降低的缺点。另一方面，由于采用了差分格式，使其迭代格式简单，收敛快，精度高，克服了无网格法的计算量大，形函数构造比有限元复杂的缺点。利用本文提供的有限点差分法、三角形三节点有限元方法和五节点差分法，通过对矩形、三角形和椭圆形三种不同区域上Poisson方程和Hemholtz方程的数值计算，比较了它们之间的精度，验证了本方法的有效性并具有很好的精度，特别当区域边界为曲线边界时充分显示出本方法的优越性。 本文第一章导出了基于局部径向插值近似的加权最小二乘无网格法，第二章给出相应无网格方法的数值计算，第三章给出了有限点差分法的构造方法及数值实验。