本论文感兴趣的是几何学和拓扑学在理解化学和生命现象中的应用,特别是借助多面体理论和纽结理论去研究病毒衣壳和DNA三维多面体结构。本论文的主要内容包括以下三个部分。Ⅰ.背景知识在第一部分,我们将给读者介绍一些理论与实验的背景知识。理论知识包括多面体理论和纽结理论,它们为本论文的研究提供了必要的数学工具。而关于病毒多面体和DNA多面体的介绍不仅给我们提供了相关实验背景和研究目标,同时这些新颖的结构还激发着我们去发展新的方法和新的理论。Ⅱ.病毒多面体的几何和拓扑结构病毒结构包括两个部分,一个是携带遗传信息的DNA或者RNA基因组,另一个是保护这些基因的蛋白质衣壳。在这一章我们关注的是病毒衣壳的建筑学,尤其是具有二十面体对称性的病毒。结合几何学,图论和拓扑学中的方法,基于Goldberg多面体,我们构筑了一类新颖的具有二十面体对称性的几何体,它们可以用来解释一些病毒衣壳的结构。然后,利用“缠绕覆盖”的方法我们还可以得到它们相应的多面体链环,并且考察了包括手性和分支数在内的结构性质。此外,由于富勒烯和二十面体病毒具有相似的几何学原理,所以这个方法学可以推广到富勒烯分子的系统理论分析,以及与其相关的新奇多面体的分子设计上。Ⅲ.DNA多面体的几何和拓扑结构在结构纳米技术中,DNA分子已经被用于组装大量的复杂三维结构,特别是多面体结构。最近的这些实验进展为理论学家们带来了一个极大地挑战,即如何构筑理论模型去模拟DNA多面体的结构和组装过程。我们的研究主要集中在探讨多面体链环的构筑方法和结构规则上。根据实验结果,首先提出了几种不同的构建方法,且构筑了一些形形色色的多面体链环。基于这些模型,我们进一步寻找一些有用的纽结不变量去刻画DNA纳米结构的复杂性。如果把DNA链看成两条反平行的纽带,这些不变量就包括交叉点数,unknotting数和辫子指数。而如果将DNA多面体索烃嵌入到相应的曲面上,亏格数和Seifert环数就成为两个有用的不变量。此外,我们还借助了这些不变量去描述DNA多面体的欧拉定理,和酶作用引起的拓扑转换。