【摘 要】
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利用变分方法研究Schr（?）dinger-Poisson系统解的存在性一直是国际热点问题,这一系统在量子力学、半导体理论、非线性光学和等离子体物理等领域中应用广泛,尤其在研究孤立波和电磁场时发挥了极其重要的作用,因此越来越多的人前仆后继的探索其背后的数学意义。本文采用一类特殊的变分结构探讨非径向条件下,Schr（?）dinger-Poisson方程无穷多正解的存在性和渐近性。第一部分主要构造了一
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利用变分方法研究Schr（?）dinger-Poisson系统解的存在性一直是国际热点问题,这一系统在量子力学、半导体理论、非线性光学和等离子体物理等领域中应用广泛,尤其在研究孤立波和电磁场时发挥了极其重要的作用,因此越来越多的人前仆后继的探索其背后的数学意义。本文采用一类特殊的变分结构探讨非径向条件下,Schr（?）dinger-Poisson方程无穷多正解的存在性和渐近性。第一部分主要构造了一类特殊的围绕在k个点处的函数u。首先,将u拆分成两个独立的函数:u的上半部分和u的下半部分。其次,在此基础上构造新的泛函,通过这一泛函的架构,将u上半部分与下半部分的泛函进行拆分。最后,介绍了一类特殊的投影集合,并且证明u是投影方向上的最大值点,这一结果在后续研究解的渐近性时起到关键性作用。第二部分是更为精确地找解的过程,构造Max-Min框架进一步缩小解的范围。难点主要集中在非局部项的研究上,交叉项的存在为计算带来很多新的挑战,可以利用Hardy-Littlewood-Sobolev不等式结合分析方法克服这一困难。此外,在上述特殊变分框架下,通过比较竞争位势的衰变率,还可以顺利得到解的渐进性。最后一部分利用Taylor公式详细证明无穷多解的存在性。
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