图的支配及其相关问题是近年来图论中一个比较活跃的研究领域,它是由实际应用领域提出来的。研究它不仅有重要的理论意义,而且在通讯网络的设计与分析、社会科学、优化理论、计算的复杂性和算法设计等诸多领域也有广泛的应用。本文对图的支配数（Domination number）及其相关问题即图的Packing数（Packing number）、图的罗马支配数（Roman domination number）以及图的符号边支配数（Signed edge dominationnumber）等问题进行了较深入的研究,取得了较好的成果。图的支配问题是近年来图论领域中的核心问题之一。目前为止仅知道很少的几类图的支配数,例如完全图、完全二分图、路径、圈、星、冠图以及部分笛卡儿乘积图等。本文对图的支配数进行了研究,提出了重复支配数的概念,将计算图的支配数问题转化为计算图的重复支配数问题,从而给出了广义Petersen图P（n,k）（k=2,3）、循环图C（n;{1,k}）（k=2,3,4）的支配数,并给出了广义Petersen图P（n,k）（k为奇数）支配数的一个较好的界。图的Packing数和图的支配数密切相关。Fisher D C对图的Packing数进行了研究,并给出了路径、圈、完全二分图以及完全格图（complete grid graphs）的Packing数。本文给出了广义Petersen图P（n,k）（k=1,2,3）的Packing数以及循环图C（n;{1,k}）的Packing数的一个较好的界。图的罗马支配问题是图的支配相关问题中一个较新的问题。Cockayne E J等研究了图的罗马支配数,给出了路径、圈、完全图、完全二分图的罗马支配数,并证明了如下的几类图是罗马图:当k≥1时,P_3k,P_3k+2,C_3k,C_3k+2是罗马图:当min{m,n}≠2时,K_m,n是罗马图。本文给出了广义Petersen图P（n,k）（k=1,2,3）、循环图C（n;{1,k}）（k=2,3,4）以及笛卡儿乘积图C_5m□C_5n的罗马支配数,并证明了当n≥3且n≠2 mod 4时广义Petersen图P（n,1）是罗马图:当n=11或n≥7且n≠3 mod 4时广义Petersen图P（n,3）是罗马图;当n=0 mod 4且0≤k≤「（n-1）/2-1」/2时广义Petersen图P（n,2k+1）是罗马图:当n≥7且n≠4 mod 5时循环图C（n;{1,3}）是罗马图:当n≥4（n≠2k）且n≠1 mod（2k+1）时循环图C（n;{1,2,3,…,k}）是罗马图以及当m,n≥1时笛卡儿乘积图C_5m□C_5n是罗马图。图的符号边支配问题也是图的支配相关问题中一个较新的问题。徐保根等研究了图符号边支配数,并证明了对任意的n（n≥4）阶图G有,γ₅（G）≤「11/6n-1」。本文构造出了一类符号边支配数为γ₅(G_m,k)=—k（m-1）（km+k+1）/2（k≥2,m≥1）的k-连通图G_m,k,从而证明了存在一类k-连通图,它的符号边支配数可以任意小。这个结论也证明了徐保根提出的2-连通图的符号边支配数大等于1的猜想不成立。本文所研究的图的支配数及其相关问题属于NP-困难问题,研究它对解决一般NP-困难问题也很有意义。