风险理论是保险精算学的核心研究内容之一,它通过研究保险业中的随机模型来处理与精算相关的一些问题,因此模型的选取在风险理论的研究中起到非常核心的作用。关于风险模型的早期研究可以上溯到Lundberg[59]的结果,他的工作奠定了风险理沦的基础。时至近日,已经有大量的论文和专著对Lundberg[59]的工作做了各种形式的推广和深入研究。其中一个方面是就是模型的推广,如研究更新风险模型、带扰动的经典风险模型、离散风险模型、复合资产的破产论以及精算与金融的交叉研究等。另外一个方面是控制理论和风险理论研究的结合,如讨论随机控制理论在投资、再保险、红利分配、新险种开发、费率厘定等领域的应用,详情可参考Hipp[42]的综述。本文研究在一类具有随机投资收益的风险模型下的破产问题以及与破产问题有关的一些最优控制问题,主要讨论了两大类情形:连续时间的风险模型和离散时间的风险模型。全文分为三大部分,共七章,其中第一章为前言,介绍了一些与本文有关的基本知识和本文的主要工作结果。第一部分(第二章、第三章)讨论的是具有随机投资收益的连续时间风险模型。第二章讨论的是具有随机投资收益的随机保费模型,假定公司的保费收入是一随机过程,而风险市场的资本价格过程为指数Lévy过程。同已有的关于具有随机投资收益的风险模型的研究相比,本文考虑的是保费为随机的情况,并且通过离散化的方法得到上述模型的骨架过程,由此得到了破产概率的显式表达式。此外,在这种模型下我们还讨论了破产理论中的一些经典研究内容,如破产概率的上下界估计等。在投资回报过程的几何布朗运动等特殊情形下我们得到了破产概率所满足的积分微分方程并给出了一些例子来说明这些方程的用处。第三章我们考虑了两种情况,第一种是带扰动的随机保费模型下的破产问题,这部分工作是Paulsen[68]的推广。我们假定保费收入过程不仅仅是时间的线性函数,而且有额外的随机保费收益。若保险人将其盈余投资于股票市场,我们假定股票市场的投资回报产生过程为一类带跳的扩散过程。结合鞅方法和随机分析的理论,得到了破产时刻的Laplace变换所满足的一类积分微分方程。特别的,由此可得破产概率满足的积分微分方程。在一些特殊情形下,通过上述方程,我们得到了破产概率的渐近表达式。第二种情况是保险人将其盈余投资于债券市场时的破产问题。我们用Vasicek模型刻画债券市场的随机利率过程,并重点讨论了这种模型下的破产概率的分解以及破产概率所满足的积分微分方程。在金融数学中讨论债券市场的一些定价问题时,已经有较丰富的成果涉及Vasicek随机利率模型(见文献[57]等),但是讨论在这种利率结构下的破产问题还是不多见的。第二部分(第四章、第五章)讨论的是利用最优控制理论来研究在一类具有随机投资收益的风险模型下的破产问题。第四章讨论的是以期望终端效用最大化为目标的最优投资与再保险问题。假定公司的盈余过程为带扰动的随机保费模型,并且公司的盈余可以进行风险投资,其投资回报产生过程为一类带跳的扩散过程。同已有的相关工作相比,本部分工作的不同之处在于我们讨论的模型是具有随机保费的,而投资回报过程是带跳的扩散过程,不仅仅是经典的带漂移的布朗运动的情况。通过求解与优化问题有关的Hamilton-Jacobi-Bellman方程,我们得到了最优策略和值函数的封闭形式解。第五章讨论的是小理赔情形下以破产概率最小化为目标的最优投资策略的渐近估计。我们通过最小化破产概率的上界得到了一个最大化的调节系数以及相应的常值投资策略。我们发现,当初始盈余趋向于正无穷时,最优的投资策略趋向于这个常值策略。这个结果说明,即使保险人的盈余很大,在以破产概率最小化为目标时,其策略仍然是非常保守的。因此,在寻求最优的投资方案时,使破产概率最小并不是一个非常合适的优化标准。第三部分(第六章、第七章)我们讨论的是离散风险模型的破产问题。在经典模型及其一些推广工作中都假定理赔额之间是独立的,但是随着保险业务额日趋复杂化以及再保险业务的开发,研究相依理赔的风险模型的破产问题已经很有必要,比如Yang和Zhang[85]的工作。我们讨论的是一类有随机利率的离散风险模型的破产问题,假定理赔额之间是相依的,服从AR(1)结构,而随机利率为时齐的马氏链。同Cai[14]的工作相比,本章研究的模型的理赔是相依的,同Yang和Zhang[85]的工作相比,我们考虑的利率结构是马氏相依的,而不仅仅是常值利率的情形。破产概率的上界是破产理论的核心研究内容之一,本章利用鞅方法和递推的方法得到了破产概率的上界。第七章讨论的是离散模型下以期望累计红利最大化为目标的最优红利分配政策,通过Bellman最优性准则,我们得到了最优值函数满足的动态规划方程,并结合实例解释了求解这些方程的算法。