本文的主要目的是系统研究靶流形为Heisenberg群的函数及其空间的性质，其中包括Lipschitz及Hlder连续性、空间Lp（Ω，Hn）及W1，p（Ω，Hn）的性质、空间BMO（Ω，Hn）的性质及其上的John-Nirenberg估计、嵌入定理、Poincare不等式和逆Poincare不等式、能量极小映射的存在性、正则性及用调和函数逼近能量极小映射等问题。另外我们还研究了Heisenberg群上一类半线性次调和方程的解的存在性问题及Heisenberg上群一类次调和算子的特征值估计问题。部分结果是作者对欧氏空间中相关问题研究成果的推广。 第一章我们介绍Heisenberg群Hn，讨论其部分几何及分析性质；引入Lipschitz及Hlder连续并讨论它们的特征。第二章我们研究空间Lp（Ω，Hn）和W1，p（Ω，Hn）的性质；在W1，P（Ω，Hn）上建立准范数和准弱紧性；建立空间BMO（Ω，Hn）并研究其上的John-Nirenberg型估计。在第三章，我们证明Poincaré不等式和逆Poincaré不等式。在第四章，我们证明Campanato型和Morrey型不等式和一些嵌入定理。第五章我们先阐述关于能量极小映射的相关结果；其次研究能量极小映射的Euler方程；之后建立用调和函数逼近能量极小映射之结论。最后，我们在Heisenberg群上研究几类半线性次椭圆方程的弱解存在性问题和几类次椭圆算子的特征估计问题。