圆填充(circle packing or circle patten)理论在复分析和离散微分几何的交叉学科是一个快速发展的研究领域。近年来在这个领域所取得的成就，起源于Fields奖获得者W．Thurston在1985年提出一个猜测，即六边形圆包装(bexagonal circle packings)可用来近似共形映射。不久，B．Rodin与D．Sul-．1ilvan证明了W．Thurston方案的收敛性，这将圆填充与共形映射建立了联系，给共形映射提供了一个崭新的离散几何观点。随后，出现大量的关于圆填充及其应用研究。对圆填充的研究，从由其内部不相交的圆组成的圆格局fcirclepacking)发展到其内部可以重叠的圆组成的圆格局(circle pattern)，后者也叫做圆模式。到目前为止，在圆填充理论的有些方面，例如，共形映射离散的模拟、离散极大值原理、离散Schwarz引理和离散单值化定理等，已经弄清楚了。然而，在其它方面，还有待进一步研究。本文的主要工作包括下面几个方面： 第一，讨论了有分枝圆填充的变分原理和组合Pdcci流。对于给定紧致曲面的一个加权三角剖分，用变分技术证明了在欧氏平面、双曲平面和Riemann球面上实现其有分枝Thurston圆模式的存在性和唯一性定理。同时，用Ricci流方法给出一种近似方案，其指数快速收敛于有分枝圆模式的半径函数。与Thurston算法比较，其多项式次数收敛于圆包装半径函数，这给寻找有分枝圆模式度量提供了一个比较快速的算法。 第二，用圆填充方法与有限体积方法研究了Dirichlet问题的离散解。对于给定区域的一个胞腔分解，其面不一定是三角形，我们用有限体积方法构造了Poisson方程Dirichlet问题的离散解。按H<1>-离散半范，给出了其离散解与经典解的误差估计。存胞腔分解与其相关体积分解正则的条件下，我们证明了其近似解在L<2>-空间和L<∞>-空问分别收敛其经典解。这些胞腔分解与其相关体积分解可以通过圆填充技术而得到，并且证明了它们是正则的。 第三，研究SC圆填充C<∞>收敛于Riemann映射函数。已经知道，对于几乎填满单连通区域Ω的半径为∈/平方根2的正则SG圆模式Q<∈><,Ω>，在单位圆盘内存在一个组合同构的SG圆模式P<∈><,Ω>。通过M6bius不变量，我们定义P<∈><,Ω>离散Schwarz算子，并应用关于其Laplace公式和Taylor公式证明它们是C<∞>有界的。然后，根据SG圆模式的定义与性质，我们构造适当的Mobius变换T<∈>使它们能用离散Schwarz算子来表示，并日．证明当∈→O时，T<∈>是C<∞>-收敛的。利用P<∈><,Ω>T<∈>的关系，我们证明，区域Ω内半径为∈平方根2的圆与单位圆盘u内半径不同圆的对应关系严在F<∈>C<∞>(Ω)内收敛于Riemann映射函数。第四，讨论圆填充在离散微分几何中的一些应用，即用SG圆模式技术研究离散极小曲面的收敛性。对于定义在复平面上单连通区域Ω的光滑极小曲面F：Ω→R<3>，我们用半径为∈平方根2的正则SG圆模式Q<∈><,Ω>填满Ω。然后应用极小曲面F的Weierstrass的表示和SG圆模式的存在性定理，在复平面内存在一个SG圆模式P<∈><,Ω>使它具有Q<∈><,Ω>的组合。根据P<∈><,Ω>与相应的由球面和圆构成的离散极小曲面的关系，我们证明了存在由点组成的离散极小曲面Γ<∈>：V<∈><,Ω>R<3>在C<∞>(Ω)内收敛于光滑极小曲面F：Ω→R<3>当∈→O时。