1995年,物理学实验取得了一个重大突破,通过激光冷却、静磁阱与蒸发冷却等技术,在87Rb、7Li和23Na原子气中直接实现了玻色—爱因斯坦凝聚(BEC)。该凝聚被认为是二十世纪实验物理学上最重大的成就之一。玻色-爱因斯坦凝聚体具有宏观相干、隧穿和量子超流等奇特的量子特性,它的实验实现为物理学研究打开了一个崭新的领域。BEC的研究不仅对基础研究有重要意义,而且在原子激光、原子钟、原子芯片技术和纳米技术等领域均有美好的应用前景。因而,BEC及其相关问题的研究已成为当前国际物理学界的前沿热点之一。外囚禁势场的形式、粒子的空间维度和有限粒子数效应(非热力学极限效应)的理论研究为实验上成功实现BEC奠定坚实的基础。本文选地球重力场作为外囚禁势场,在一维和三维情况下,利用量子态密度积分(热力学极限下)和分离量子态求和两种方法,分别研究它对BEC形成的影响,重点讨论有限粒子数效应。同时,研究了与一维谐振势场相关的BEC若干问题。全文共由五章内容构成。在第一章中,本文首先综述了玻色-爱因斯坦凝聚及其研究进展,然后综述了BEC中的有限粒子数效应的研究进展。第二章研究了一维地球重力场对玻色-爱因斯坦凝聚的影响。理论结果显示:在热力学极限下和有限的温度范围内,该体系会出现BEC现象,其临界温度TC随粒子数N增大而升高,热容量和熵本身是连续的,该相变是三级相变。当粒子数有限时,体系的临界温度高于热力学极限下的临界温度;粒子数有限时的临界温度与热力学极限下的临界温度的比值TC / TC0与粒子的质量无关。该体系与我们已知的理想玻色子被囚禁在一维谐振势场的情况不同:一维谐振势场中,在热力学极限下,标准的半经典近似结果显示该体系没有BEC,但当粒子数有限时,BEC可由基态凝聚分数来定义。第三章分析了与一维谐振势场相关的若干BEC问题。(1)、研究了在一维谐振势场中的玻色气体化学势。我们发现Mungan给出的化学势的封闭表达式只是一个高温下的近似结果。当温度低于某一特征温度值时,基态上有宏观的粒子占据数,此时该化学势的表达式就不适用了。我们给出了在整个温度范围内化学势的正确结果。探讨了在低温范围内,Mungan的近似结果μapp和精确结果μ的偏差。当温度从Tc继续下降时,绝对误差μ?μapp会减小,但相对误差μ?μapp/μ会迅速从0.7增加到1.0。(2)、侦探了在一维谐振势阱中的玻色气体热容量。我们看到,基态凝聚分数N 0 /N随温度T /T0变化图展示BEC有限粒子数效应的一般特性,但是单粒子无量纲的热容量C / Nk B随温度T /T0变化图则没有显示这一特性。这是因为C / Nk B随T /T0单调上升,最后趋近于1,曲线无最大值。(3)、讨论了一维δ函数修饰的谐振势场中玻色气体的热容量。结果发现δ函数修饰可使少粒子数玻色气体体系的热容量发生明显的改变。当粒子数较少时,单粒子无量纲的热容量C / Nk B随温度T /T0的变化曲线会出现最大值。第四章研究了一维半空间谐振腔中理想玻色气体体系的BEC问题。结果表明,该体系在热力学极限下,不会发生玻色—爱因斯坦凝聚相变。但当温度T <T0(特征温度)时,基态上会形成宏观的玻色—爱因斯坦凝聚体。如同一维谐振势阱的情况一样,基态凝聚分数N 0 /N随温度T /T0变化图展示BEC有限粒子数效应的一般特性,但是单粒子无量纲的热容量C / Nk B随温度T /T0变化图则没有显示这一特性。第五章研究了三维地球重力场对玻色-爱因斯坦凝聚的影响。如同一维情况,我们从热力学极限和有限粒子数两方面对其进行了研究。结果显示:在热力学极限下,在有限的温度范围内,该体系会出现BEC现象,热容量不连续,但熵本身是连续的,该相变是二级相变。当粒子数有限时,其临界温度低于热力学极限下的临界温度,此结果类似于玻色气体被囚禁在三维谐振磁阱中的情况,这一结果与非相互作用的玻色子在一维的地球重力场中的情况相反。同时,我们还看到当粒子数有限时,体系的临界温度与热力学极限下的临界温度的比值TC / TC0与粒子的质量m和势阱宽度L有关。固定玻色子的质量m = 7amu( 7 Li ),分别研究了L = 1,5,10微米的情况。结果显示:当L = 5微米时,体系的有限粒子数效应相对较小。固定L = 5微米,分别研究了m = 7amu(7 Li ),23amu( 23Na )和39amu(39K )的情况。结果表明:当m = 39amu时,体系的少粒子效应越明显。最后,我们对本论文进行了一简单总结。