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分块矩阵广义逆理论在数值分析、马尔可夫链、线性微分方程组、差分方程组等领域都有广泛的应用.研究分块矩阵广义逆的表式形式是矩阵广义逆理论中的重要问题,其中对矩阵的Drazin逆及群逆表达式的研究最为广泛.本文主要是研究一类分块矩阵的群逆存在性及表达式.
设K是一个体,Km×n表示K上所有m×n阶矩阵的集合.设矩阵A∈Kn×n,若X∈Kn×n满足下列矩阵方程AXA=A,XAX=X,AX=XA则称X为A的群逆,记作X=A＃,当矩阵A为非奇异矩阵时,A#=A-1.
本文在第1章中主要介绍了矩阵广义逆的发展概况、研究意义以及国内外的研究现状,第2章介绍了矩阵广义逆相关理论基础知识,在第3,4,5章中介绍了本文的主要研究结果,其中包括:
(1)第3章主要给出了M=[AA*AA*0](其中A为方阵,A2=A)的群逆存在性,并利用公式M#=M(M3)(1)M给出M群逆的表达式;
(2)第4章主要给出了(ABCO)(其中矩A,B,C取自集合{A,A#,AA#})的分块矩阵的群逆存在性及表达式;
(3)第5章利用矩阵秩的关系给出群逆的一个等价定义,并用其简化了分块矩阵(ABAO](A,B∈Kn×n,A2=A)的群逆表达式的验证过程.