经典Sturm-Liouville问题,即一般加权的Sturm-Liouville问题,最早起源于上世纪初利用Fourier方法对固体热传导模型的求解问题.在1836年,C.Sturm 和 J.Liouville 将这一方法进行了推广,形成了 Sturm-Liouville 问题理论.这一理论是解决热传导问题、振动问题、微波传输问题和量子物理中微观粒子状态问题的基础,并且已经广泛应用到数学物理、量子力学、工程技术等众多领域.随着无界算子理论和谱分析的发展以及实际问题的需要,产生了一种新的边值问题,称之为非局部边值问题.这一问题已经大量出现在电压驱动电力系统、人口动力系统和带有对流项保持首次积分的非局部模型中,且由这些实际问题所产生的非局部算子也成功运用到量子力学和反应扩散中,这就需要对加权的Sturm-Liouville问题以及非局部Sturm-Liouville问题的谱及其性质进行全面分析和了解并对其研究方法进行探索.对于正则右定、左定和不定Sturm-Liouville问题以及正则右定p-Laplacian问题的研究已相对成熟,如自伴算子的谱分解,零点比较定理,振动理论,Prufer变换,特征值的分布、渐近性、连续性和可微性以及非实特征值上、下界的先验估计和存在性.相比之下,奇异Sturm-Liouville问题,尤其是奇异不定Sturm-Liouville问题以及正则不定p-Laplacian问题目前还仅是对某些特殊情形进行研究,对上述问题的谱理论认识和理解还不够完善和系统,其研究工具仍在进一步总结和发展中.由于生物数学模型、人口动力系统、输运模型和微波传播等问题的多样性和复杂性,非局部不定Sturm-Liouville边值问题被越来越多的学者所关注并已在反应扩散方程和量子物理理论中发挥重要作用.由于非局部项的产生,导致非局部算子的谱性质发生了本质变化,所以非局部Sturm-Liouville谱问题的研究将进一步完善算子理论知识并成为解决非局部问题的理论基础.本文主要考虑两方面谱问题:一方面是关于奇异不定Sturm-Liouville问题和带有不定权函数的一维p-Laplacian问题非实特征值的先验估计和存在性.另一方面是非局部不定Sturm-Liouville微分算子的谱问题.包括在非局部势函数扰动下(非)左定的变化,正则不定问题非实特征值的有限性和上、下界估计以及奇异不定问题非实特征值的预先估计和非存在性.本文首先研究的是奇异不定Sturm-Liouville问题的非实特征值.对于带有权函数的Sturm-Liouville边值问题,当权函数不变号时称为右定问题,当权函数变号时称为右不定问题.自伴边界条件下右定Sturm-Liouville问题的谱已经非常完善,但是对于权函数变号时的边值问题,尤其是左右均不定的问题(称作不定问题),谱的性质和结构与右定问题有明显不同且更加复杂,比如不定Sturm-Liouville问题的实特征值是上下方无界的且非实特征值可能出现,这也是不定问题和右定问题的本质区别.20 世纪初,Hilb、Richardson、Bocher和 Haupt 首先对正则不定 Sturm-Liouville 问题谱的性质进行 了研究和分析.1915 年 Haupt 和 1918 年 Richard-son将振动理论推广到不定方程时发现其相应的特征值问题可能存在非实特征值,其中Richardson研究了权函数为符号函数且带有Dirichlet边界条件的Richardson型不定问题,并且Turyn在1980年,Mingarelli在1982年,Atkinson 和 Jabon 在 1984 年,Fleckinger 和 Mingarelli 在 1984 年,Binding和Volkmer在1996年均又对不定问题做了深刻细致的研究.Mingarelli在1986 年和 2011 年,Kong,Moller,Wu 和 Zettl 在 2003 年以及 Zettl 在 2005年均提出了非实特征值存在性的充分条件和先验估计这一开问题.直到最近,关于正则不定Sturm-Liouville问题非实特征值的先验估计和存在性才由Xie 和 Qi 在 2013 年,Qi 和 Chen 在 2014 年,Qi,Xie 和 Chen 在 2016 年给出较为完整的结果.而对于奇异不定的情形,Behrndt,Katatbeh和Trunk在2009年给出在极限点型端点下权函数为符号函数的奇异不定问题非实特征值存在性的充分条件.Behrndt,Philipp 和 Trunk 在 2013 年,Behrndt,Gsell,Schmitz 和 Trunk 在 2017 年,Behrndt,Schmitz 和 Trunk 在 2016 年、2018年和2019年都在势函数和权函数满足一定假设条件下,分实部、虚部以及绝对值给出奇异不定Sturm-Liouville问题非实特征值上界的先验估计.值得注意的是,上述不定问题的所有研究结果均是在极限点型端点下进行的,并未对极限圆型端点下的不定问题进行探讨,所以本文的第一部分首先研究的就是在极限圆型非振动端点下奇异不定Sturm-Liouville问题非实特征值的预先估计和存在性.此外,关于一维不定p-Laplacian问题,本文则给出了其非实特征值上界的先验估计.这部分内容所采用的方法如下:对于奇异不定Sturm-Liouville问题非实特征值的研究,本文直接对系数函数提出假设条件,得到奇异Sturm-LiouviIIe微分方程在端点处是极限圆型非振动的.再结合主解、非主解和测度论的相关知识发现了极限圆型端点下奇异Sturm-Liouville问题主解的渐近性不变现象,证明了由主解构成的边界条件和特征函数在端点处的渐近性之间的等价性以及不同特征值下边界条件之间的等价性,这是处理极限圆型端点下奇异问题的关键也是本文的技术特点之一.然后再利用分析理论、谱理论中的振动理论、比较定理和量子物理中的PT对称条件得到非实特征值的定量估计以及存在性的充分条件.对于一维不定p-Laplacian问题的研究,本文将2016年Kikonko和Mingarelli对正则不定问题非实特征值上界估计研究的最新方法成功应用到此不定边值问题上,分虚部和绝对值得到一维不定p-Laplacian算子非实特征值上界的先验估计,采用的方法主要是有界变差理论,Ganelius引理和Sobolev空间理论知识.本文的第二部分主要考虑的是量子力学中带有非局部点干涉势函数的非局部不定Sturm-Liouville微分方程在非局部边界条件下的特征值问题.早在上个世纪60年代关于非局部微分方程的研究就已经开始并且广泛应用于非局部力学和量子物理以及反应扩散方程中.事实上,非局部问题的影响在自然生态系统中更为明显,如生物种群的移动不会在一个小范围内,而是在一个相对较大的空间范围内移动,这便产生了非局部问题.近年来,由于生物种群和生态动力系统的多变性、依赖性以及复杂性,非局部问题逐渐开始出现在生态学、断裂力学、近场动力学理论、机器学习和医用图像理论等众多方面.特别地,带有分数阶的Laplacian算子可以看作非局部扩散模型的一种特殊形式.在2011年,Qi和Chen研究了来源于非局部连续介质力学中的分数阶问题并在2019年研究了非局部问题的Lyapunov不等式、特征值和相应的极值问题.Albeverio,Hryniv 和 Nizhnik 在 2007 年,Nizhnik 在 2009 年和2010年均对非局部问题的逆谱进行了研究.但对于非局部不定问题的研究还不够成熟,所以在这一部分中我们对非局部正则和奇异不定Sturm-Liouville问题进行研究,给出问题的左定和非左定性以及非实特征值的有限性、上下界估计和非存在性的充分条件.这部分所采用的主要研究方法如下:由于非局部Sturm-Liouville方程和相应的边界条件均含有非局部项,导致一般的算子研究方法不再适用,所以在对非局部不定问题的研究上,算子二次型理论的成功应用是这一部分的最大特点.再结合Green函数、扰动理论及经典的Sturm-Liouville理论给出在非局部项的扰动下,非局部Sturm-Liouville问题的左定和非左定性分析.其次,利用Mingarelli在1982年和Zettl在2005年对正则不定谱问题非实特征值有限性的研究方法得到非局部正则不定Sturm-Liouville问题非实特征值的有限性结论.此外,将上述研究正则不定问题的最新方法应用到非局部不定Sturm-Liouville边值问题上,分虚部、实部以及绝对值得到非实特征值在非局部分离和非局部耦合边界条件下的上下界先验估计结果.最后,将上述处理奇异不定Sturm-Liouville问题的方法进行优化并结合Behrndt,Schmitz和Trunk在2019年研究奇异不定谱问题的最新方法,得到非局部奇异不定Sturm-Liouville问题非实特征值上界的预先估计和非存在性.本文共分五章,第一章为引言,介绍本文所研究不定问题的背景、研究现状和主要结论.第一部分包括第二、三两章内容,第二章给出奇异不定Sturm-Liouville问题非实特征值上界的先验估计和存在性的充分条件.第三章得到一维不定p-Laplacian问题非实特征值的上界估计.第二部分包括第四、五两章,第四章给出非局部正则不定Sturm-Liouville问题的左定和非左定性分析以及非实特征值的有限性和上下界估计.第五章给出非局部奇异不定Sturm-Liouville问题非实特征值的上界估计和非存在性的充分条件.