【摘 要】
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随着科技和社会的发展,微分方程变得越来越重要。但是对于具有强的非线性和耦合性的确定性微分方程以及随机微分方程,想要直接求取对应方程的精确解是非常困难的。因此,构造合适且有用的数值方法就成为学者们研究的重要问题。保结构算法作为微分方程数值方法的重要组成部分,其本质就是研究算法可以尽可能保持原方程的某些结构,如辛结构、能量守恒等。由于在现实生活中大多数系统都不是保守的,因此本文针对带有耗散项的微分方程
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随着科技和社会的发展,微分方程变得越来越重要。但是对于具有强的非线性和耦合性的确定性微分方程以及随机微分方程,想要直接求取对应方程的精确解是非常困难的。因此,构造合适且有用的数值方法就成为学者们研究的重要问题。保结构算法作为微分方程数值方法的重要组成部分,其本质就是研究算法可以尽可能保持原方程的某些结构,如辛结构、能量守恒等。由于在现实生活中大多数系统都不是保守的,因此本文针对带有耗散项的微分方程即阻尼微分方程,研究指数Runge-Kutta-Nystr（?）m方法和随机分块指数Runge-Kutta方法对其共形辛结构和共形二次不变量的保持。在第一部分和第二部分中,主要介绍了微分方程数值方法研究的背景、目的、意义以及在国内外的研究现状,并简要说明了本文需要的相关定义以及基础知识。第三部分,针对二阶阻尼常微分方程,主要研究了一类可以保持共形辛结构的指数Runge-Kutta-Nystr（?）m方法,给出了可以保持共形辛结构和共形二次不变量的充分条件,并构造了低级二阶收敛的共形辛结构和共形二次不变量保持的数值方法。最后,利用数值算例对理论结果进行了验证。第四部分,针对阻尼随机微分方程,构造了随机分块指数Runge-Kutta方法,研究了该方法对共形辛结构和共形二次不变量的保持,并分析了一类特殊的随机分块指数Runge-Kutta方法的收敛性。根据数值方法保共形辛结构的充分条件和收敛阶条件构造了两类均方一阶收敛的随机分块指数Runge-Kutta方法。最后,利用数值算例验证理论结果的有效性。
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