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广义逆理论已成为现代数学的重要组成部分,它所涉及的内容十分丰富,主要有矩阵广义逆、线性空间中的线性变换的广义逆、Hilbert空间中线性算子的Moore-Penrose广义逆和Banach空间中线性算子的广义逆等.广义逆是解决最小二乘问题、不适定问题和最优化等问题的重要工具,其扰动与表示理论是广义逆理论研究的核心内容之一设X,Y为线性空间,T为D(T)(?)X到Y的线性算子,T+为T的代数广义逆.我们知道,广义逆理论与代数可补和代数投影是密切相关的.M.Z.Nashed和G.F.Votruba早在1974年就在其系列论文中讨论了代数内逆、代数外逆、代数广义逆,他们从纯代数的角度研究了广义逆.之后,B.L.Rall和L.Kramarz等人对广义逆的代数扰动问题进行了研究.另一方面,无论是在Banach空间或Hilbert空间,研究有界线性算子或稠定闭线性算子的广义逆或Moore-Penrose广义逆的扰动问题,本质上都是讨论线性空间中的广义逆可加性问题.因而,在一般线性空间框架中从纯代数的角度讨论代数广义逆更具有一般性.本文首先在线性空间中给出I+AT+可逆的本质特征,进而证明若算子T=T+A的代数广义逆保持T的广义逆值域、核空间不变,则T的广义逆必具有最简形式.其次给出了T的代数广义逆具有最简形式的一系列充要条件.最后将上述定理应用到Banach空间的广义逆或Hilbert空间Moore-Penrose广义逆的扰动问题中.本文主要推广和改进了文[7,8,21-23,25,29,41]中的相关结果.定理设T+∈L(Y,X)是T∈L(X,Y)的代数广义逆,A∈L(X,Y),D(T)(?)D(A).若T=T+A存在代数广义逆T+∈L(Y,X)且满足D(于’)=D(T+), R(T+)=R(T+), N(T+)=N(T+),则I+AT+:D(T+)→D(T+)为双射且B=T+(I+AT+)-1=(I+T+A)-1T+为T=T+A的代数广义逆.定理设T+∈L(Y,X)是T∈L(X,Y)的代数广义逆,A:D(A)(?) X → D(T+)为线性算子.若D(T)(?)D(A)且I+AT+:D(T+)→D(T+)是双射,则下列命题等价：(1)B=T+(I+AT+)-1=(I+T+A)-1T+为T=T+A的代数广义逆；(2)R(T)∩N(T+)={0}；(3)D(T+)=N(T+)+R(T)；(4)D(T)=R(T+)+N(T)；(5)D(T)=R(T+)+N(T)；(6)(I+AT+)-1R(T)=R(T)；(7)(I+AT+)-1TN(T)(?) R(T)；(8)(I+T+A)-1N(T)=N(T).