本文首先研究的内容是柯西奇异积分方程的数值解,其基本思想是利用多项式函数逼近方法去求解,本文之所以选择贝恩斯坦的非正交多项式,是因为贝恩斯坦多项式作为基函数在给定的区间上是足够稳定的,在这种条件下,对于在区间上的代数多项式而言,其他任何非负基函数都不能产生较小的条件数,利用这个性质,通过贝恩斯坦多项式作为基函数,对四种核函数分别加以近似表达,来求解第一类柯西奇异积分方程,对核函数的第一种情况重点研究,其它三种情况类似于第一种情况来研究处理,从而达到数值求解的目的;并给出数值结果的收敛性分析,并用数值算例来验证该方法的可行性。其次是对哈达玛超奇异积分方程数值解的研究,通过中点公式和配置法,对方程中的离散点都选择为中点,然后导出离散方程组,对离散方程组进行研究,得到离散方程组是退化的方程组,再引入正则化因子,使离散方程组变得稳定,运用这种方法将得到一个超收敛的效果,从而达到容易求得其数值解的目的;同时也给出一般情况下的超奇异积分方程的数值近似解,最后建立误差估计理论,同时给出理论证明,通过数值实验检验运算效果,并给出其误差分析和数值结果。