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本文主要研究一类n维神经网络系统的平衡点稳定性及Hopf分叉.Lotka—Volterra系统是一类重要的非线性动力系统.近年来对于Lotka—Volterra系统已经有了很多研究成果.它在神经网络、生物、经济、物理等许多领域都有很重要的应用.V.W.Noonburg将Lotka—Volterra系统用于描述神经网络问题,提出了具有自适应特性的一类n维神经网络模型.本文主要研究这类模型在它的不变子空间上的如下四维约化系统:
首先研究了此模型的临界平衡点的稳定性,通过理论推导证明它们都是不稳定的.其正平衡点可分为两类,分别形如(r,r,r2,r2)和(bi,si,bisi,si2)(i=1,2).对于平衡点(r,r,r2,r2)通过理论分析证明它渐近稳定的充要条件是k>0,T>0,n≥3,且knr且Tnr,T>k(n-1)／k-nr时,平衡点(r,r,r2,r2)是不稳定的.然后根据Hopf分叉理论证明此平衡点在T=T*=k(n-1)／(k-nr)处发生Hopf分叉.
本文还通过应用规范型理论证明此平衡点发生的Hopf分又的稳定性及分叉方向,并在n=3,k=2.222222222及分叉参数T*=36.10214169时对其进行数值模拟,可以发现此时平衡点(r,r,r2,r2)会发生跨临界Hopf分叉,利用Maple软件给出相应的分叉图.对于第二类的两个正平衡点(bi,si,bisi,si2)(i=1,2),平衡点(b2,s2,b2s2,s22)始终是不稳定的,因而其附近不存在Hopf分叉周期轨道.而平衡点(b1,s1,b1s1,s12)随参数的变化稳定性会发生交换,会发生Hopf分叉.并且通过数值研究发现在n=4,k=3.141621149,T*=16.4823时平衡点(r,r,r2,r2)和平衡点(b1,s1,b1s1,s12)会同时发生Hopf分叉,这是过去的研究没有发现的.