【摘 要】
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分圆域一直是代数数论的重要研究对象.本文主要研究三重分圆多项式的问题.设Φn（x）是n级分圆多项式.若n = pqr,其中p < q < r是三个不同的奇素数,则称Φn（x）为三重分圆多项式.设A（n）是Φn（x）的系数的绝对值的最大值. 1968年,M. Beiter提出Beiter猜想:A（pqr）≦（p+1）/2. M. Beiter证明了当p≦5,或者q或r≡±1 （mod p）时猜想成立
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分圆域一直是代数数论的重要研究对象.本文主要研究三重分圆多项式的问题.设Φn（x）是n级分圆多项式.若n = pqr,其中p < q < r是三个不同的奇素数,则称Φn（x）为三重分圆多项式.设A（n）是Φn（x）的系数的绝对值的最大值. 1968年,M. Beiter提出Beiter猜想:A（pqr）≦（p+1）/2. M. Beiter证明了当p≦5,或者q或r≡±1 （mod p）时猜想成立. 2009年,Y. Gallot和P. Moree证明了对于任意素数p≧11,Beiter猜想是错误的.当p = 7时,仍是一个开放问题.基于大量的数值计算,他们给出了无穷多的反例,并提出了修正的Beiter猜想:A（pqr）≦2/3p.而且,这是Beiter猜想在这种形式下最好的修正结果,因为他们还证明了对于任意ε> 0,只要p足够大,总有素数p < q < r使得A（pqr） > （2/3-ε）p.本文先介绍了一种新的计算三重分圆多项式Φpqr（x）的系数的方法.对于估计A（pqr）的上界来说,新方法更加简明有效.随后,我们得到了修正的Beiter猜想成立的一个充分条件,并证明了当p = 7时,Beiter猜想和修正的Beiter猜想均成立.这是对之前提到的开放问题的一个明确回答.运用类似的方法,最后我们完整地证明了修正的Beiter猜想.我们称之为Beiter-Gallot-Moree猜想.若A（n） = 1,则称Φn（x）是平坦的. N. Kaplan证明了:若r≡±1 （mod pq）,则A（pqr） = 1.我们重新证明了这个定理,并给出A（pqr） = 1的一个必要条件.我们还得到了r模pq为其它情形的一般结果,N. Kaplan的定理只是一种特殊情况.我们还证明了N. Kaplan的另一结果.G. Bachman证明了三重分圆多项式系数全体覆盖整数Z.我们用两种完全不同的方法给出了新证明.
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