论文部分内容阅读
半群的Von Newmann正则性在半群论中发挥了重要作用.一个半群S称为（von Neumann）正则的,如果对于任意a ∈ S均有a ∈ aSa.sekik1956年利年利左理想和右理想刻画了半群的正则性,证明了半群S是正则的当且仅当对于S的任意右理想A及左理想B均有AB = A ∩B.从此以后,许多作者利用其他种类的理想,如双边理想,双理想（bi-ideal）,拟理想（quasi-ideal）,按照Iseki的方式刻画了半群的正则性.人们还研究了其他种类的正则性,如左正则和intra-正则,并利用利用单边理想,双边理想,双理想,拟理想刻画了这些正则性.这些正则性的组合,如正则与左正则,正则与内正则（intra-regular）,左正则与内正则等也被研究.Zadeh于1965年提出了模糊集合论,此后,模糊集合进入了数学的许多分支.特别是模糊代数,如模糊群,模糊半群,模糊拟环（near-ring）和半环（semiring）,模糊李代数,模糊代数超结构等等迅速发展起来.Rosenfeld于1977年开始研究模糊代数运算,提出了模糊子群的概念.Kuroki于1978年提出了半群的模糊子集的概念,并且建立的模糊理想理论.一些研究者利用模糊理想按照Iseki的方式给出了正则性的刻画.Cayley和Sylvester早在19世纪就考虑过三元代数运算.1932年,Lehmer研究了三元代数系统.三元半群的概念是由S.Banach提出的.Los和Lyapin分别在20世纪50年代和80年代研究过三元半群.半群正则性的研究可以自然地扩展到三元半群和序半群.Sioson于1963年将Iseki的经典结果扩展到n元半群的情形.最近,Dutta等人研究了三元半群的正则性.Kehayop-ulu,Shabir,唐剑和谢祥云等人利用模糊左理想,模糊右理想和模糊准理想刻画了序半群的正则性.序三元半群为序半群和三元半群提供统一框架.自然地,要将序半群和三元半群正则性的研究扩展到序三元半群.序三元半群的von Neumann正则性及其推广和类比,如弱正则性,内正则性等也可以利用模糊理想来刻画.在第3章中,我们刻画了序三元半群的左弱正则性和内正则性以及联合正则性,如正则性和弱正则性,正则性与内正则性,左正则性与内正则性等,规律性和弱规律性,推广了文献中的许多结果.定理3.1.7.序三元半群是左（右）弱正则的当且仅当其每个模糊左（右）理想是幂等的.定理3.1.14.设S是序三元半群,U是S的子集族,它包扩了 S的所有模糊左理想.则下列等价.（1）S左弱正则的;（2）对所有模糊左理想f,f’,f"均有f ∧ f’ ∧ f"（?）f（?）f’（?）f";（3）对所有模糊左理想f,模糊双边理想g以及u ∈ U均有f ∧ g ∧ u（?）f（?）g（?）u;（4）对所有模糊双边理想g,模糊右理想h以及u ∈ U均有g∧h ∧u（?）g（?）h（?）u;（5）对所有模糊双边理想g,模糊左理想f以及u ∈ U均有g ∧u ∧ f（?）g（?）u（?）f;（6）对所有模糊双边理想g以及u ∈ U均有g ∧ u（?）1（?）g（?）u;（7）对所有模糊右理想h以及u ∈ U均有h ∧ u（?）1（?）h（?）u;（8）对所有模糊左理想f以及u ∈ U均有u ∧ f（?）1（?）u（?）f.定理3.2.2.设S是弱正则的序三元半群.则S的模糊子集f是S的模糊拟理想当且仅当 f =（1（?）1（?）f）∧（f（?）1（?）1）.定理3.2.5.序三元半群S是弱正则的当且仅当对S所有模糊拟理想f均有f =（1（?）1（?）f）3 ∧（f（?）1（?）1）3.定理3.2.6.序三元半群S是弱正则的当且仅当对S的所有模糊拟理想f均有f =（f（?）1（?）1）3 ∧（1（?）f（?）1）3 ∧（1（?）1（?）f）3=（f（?）1（?）1）3 ∧（1（?）1（?）f（?）1（?）1）3 ∧（1（?）1（?）f）3.定理3.3.5.设S是序三元半群,U是S的一族模糊子集,它包括了 S的所有模糊左理想.则S是内正则且左弱正则的当且仅当下列陈述之一成立.（1）对所有模糊左理想f,双理想g均有g’ f ∧g∧g’（?）f（?）g（?）g’;（2）对所有模糊左理想f,f’以及模糊子集（双理想,拟理想）u均有f ∧u ∧ f’（?）f（?）u（?）f’;（3）对所有模糊左理想f,模糊右理想h以及u ∈ U均有f ∧ h ∧ u（?）f（?）h（?）u;（4）对所有模糊双边理想h,模糊双理想g以及u ∈ U均有h ∧ u ∧ g（?）h（?）u（?）g;（5）对所有模糊双理想g以及u ∈ U均有u ∧ g（?）1（?）u（?）g.定理3.4.4.设S是序三元半群.设U是S的一族模糊子集,它包括了 S的所有模糊左理想,U’是S的一族模糊子集,它包括了 的所有模糊右理想,U"是S的一族模糊子集,它包括了 S的所有模糊双边理想,则下列等价.（1）S是正则且弱正则的（左弱正则的,右弱正则的）;（2）对所有模糊右理想g,g’以及u ∈ U均有g ∧ g’∧u（?）g（?）g’（?）u;（3）对所有模糊左理想f’f以及u’ ∈U’均有u’ ∧ f’ ∧ f（?）u’（?）f’（?）f;（4）对所有模糊右理想g,左理想f以及u" ∈ U"均有g∧ u" ∧ f（?）g（?）u"（?）f;（5）对所有模糊双边理想h,h’ ∈ U’,以及u ∈ U均有u’ ∧ h ∧ u（?）u’（?）h（?）u;（6）对所有模糊右理想g,模糊双边理想h以及模糊左理想f均有g ∧ h ∧ f（?）g（?）h（?）f;（7）对所有模糊右理想g,模糊左理想f均有g∧f（?）g（?）f（?）1（?）g（?）f.定理3.5.3.设S是序三元半群.则下列条件等价.（1）S是正则的且内正则的;（2）S的每个模糊双理想f是幂等的;（3）S的每个模糊拟理想f是幂等的.Bhakat与Das于1992年引入了（α,β）-模糊子群的概念,它基于模糊点和模糊子群之间的属于关系（∈）和拟一致（quasi-coincident）关系（q）,Jun等人于2009年给出了序半群的广义模糊双理想的概念,并利用（∈,∈∨q）-理想刻画了正则序半群.Muhammad等人于 2010年利用（∈,∈ ∨q）-模糊理想刻画了正则半群.Rehman和Shabir于2012年利用（α,β）-模糊理想刻画了三元半群.Zeb等人利用（∈,∈ ∨qk）-模糊理想刻画了三元半群的正则性.唐剑和谢祥云于2014年在序半群中引入了（∈,∈ ∨qk）-模糊理想与（∈,∈ Vqk）-模糊双理想的概念,并利用（∈,∈ Vqk）-模糊左理想,（∈,∈ ∨qk）-模糊双理想以及（∈,∈ ∨qk）-模糊广义双理想刻画了正则的序半群.在第4章,我们对序三元半群引入了（∈,∈ ∨qh）-模糊理想,（∈,∈ ∨qh）-模糊双理想以及（∈,∈ ∨q）-模糊广义双理想,这是相应（∈,∈ ∨qk）-模糊理想的推广.我们利用（∈,∈ ∨qh）-模糊左理想,（∈,∈∨qh）模糊双理想以及（∈,∈∨qh）-模糊广义的双理想刻画了正则的序三元半群.作为应用,得出了一般（无序）半群上的相应结果.定理4.2.7.设S是序三元半群且f是S的模糊子集.则f是S的（∈,∈ ∨qh）-模糊双理想当且仅当对于所有x,y,z,s1,s2 ∈ S均有定理4.2.12.设S是序三元半群且f是S的强凸模糊子集,则f是S的（∈,∈∨qh）-模糊双理想当且仅当对f的每个（∈ Vqh）-水平子集[f]t都是S的双理想.定理4.2.14.设S是序三元半群且f是S的模糊子集,则f是S的（∈,∈ ∨qh）-模糊广义双理想当且仅当对所有x,y,z∈S均有定理4.2.15.设S是序三元半群且f是S的强凸模糊子集,则f是S的（∈,∈∨qh）-糊广义双理想当且仅当f的每个（∈∨qh）-水平子集[f]t都是S的广义双理想.定理4.3.5.设S是序三元半群且A是S非空子集,则A是S的左（右,侧（lateral））理想当且仅当fA是S的（∈,∈ ∨qh）-模糊左（右,侧）理想.软集合论是由Molodtsov于1999年为处理不确定性提出来的.Aktas和Cagman于2007年进一步发展了软集合论的基本思想.他们还讨论了软群及其基本性质.Marty于1934年开创了超代数结构理论.他考虑了超群的性质及其对群的应用.超群是经典群的推广.有很多数学家研究超代数结构,推广了各种经典代数结构,发表了大量论文和专著.超结构理论在数学和计算机科学的许多领域都有应用.Yamak,Kazanci和Davvaz 于 2011年研究了软超结构.Hila,Naka,Leoreanu-Fotea 和 Sadiku 于 2013 年研究了三元半超群,软集,软三元半超群,软左（right,侧）超理想,软超理想,软拟（双）超理想.Naz和Shabir于2014年研究了半超群的素软双超理想.在第5章,我们定义并研究了三元半超群的素性,推广了 Naz和Shabir的结果.下面设S是三元半超群.定理5.2.6.三元半超群S的软集fA是S在U的三元子半超群当且仅当fA*fA*fA（?）fA定理5.3.9.对于三元半超群S下列断言等价.（1）S在U上的每个软双超理想是幂等的;（2）对所有软双超理想gB,SC和iD均有（gB*SC*iD）∩（SC*iD*gB）∩（iD*gB*SC）= gB ∩ SC∩ iD;（3）S在U上的每个软双超理想是半素的;（4）S在U上的每个真软双超理想是包含它的所有不可约的半素软双超理想之交.定理5.3.10.三元半超群S在U上的每个软双超理想是强素的当且仅当S在U上的每个软双超理想是幂等的,并且S在U上的软双超理想之集关于包含关系是全序集.定理5.3.11.如果S在U的软双超理想之集是全序集,则S的每个软双超理想是幂等的当且仅当S的每个软双超理想是素的.定理5.3.12.如果S在U的软双超理想之集是全序集,则素性与强素性一致.定理5.3.13.对于三元半超群S,下列断言等价.（1）S在U上的软双超理想之集关于包含关系是全序集;（2）S在U上的每个软双超理想是强不可约的.（3）S在U上的每个软双超理想是不可约的.