【摘 要】
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本文研究了两个独立的内容,其一是abc猜想成立下的Non-Wieferich素数,其二是Erd(?)s-Tur(?)n猜想在正有理数集上的情况.Grave和Murty ( [11])证明了在abc猜想成立的前提下,对
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本文研究了两个独立的内容,其一是abc猜想成立下的Non-Wieferich素数,其二是Erd(?)s-Tur(?)n猜想在正有理数集上的情况.Grave和Murty ( [11])证明了在abc猜想成立的前提下,对任何整数a ≥ 2及k≥ 2,有》logx/loglogx的素数p满足p≤x,ap-1(?)1(mod p2)及p≡1 (mod k).在第一章中,这个下界被改进到(log x/ log log x) (log log log x)M,其中的M是任意给定的.这个结果发表在Proceeding ofAmerican Mathematical Society, 145(2017) , 1833-1836.著名的Erd(?)s-Tur(?)n猜想是说,假设A是自然数集的一个子集.若每个充分大的自然数都可以表成A中2个数之和,那么其表法一定是无界的.在第二章中我们将证明这个猜想在正有理数集合中不成立.令Q+表示正有理数的集合.对任意的A (?) Q+和α∈Q+(A,α),(A,-，α),R(A, ; α)和R(A, ÷, α)分别表示方程α = a + b(a≤b),α = a - b(a>b),α= ab(a≤b),α=a/b在A中的解的个数.我们证明存在Q+的子集A,使得对任何的α €Q+ \{1}，有R(A,+,α)=1,R(A,-,α) = ,R(A,;α) = 1,R(A,÷,α) = 1同时成立,并且还有R(A+, 1) = 1,R(A, -,1) = 1及(A,; 1) = 1.对集合Q n (1,+∞)与 Q ∩ (0, 1),我们也得到了类似的结果.
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