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维函数是研究小波性质的重要工具,是近年来小波分析研究中比较活跃的课题之一.2001年,Bownik,Rzeszotnik,Speegle讨论了联系一般伸缩矩阵的多小波维函数,研究了维函数的值域特征,刻划了维函数.2002年,Bownik,Speegle引入一般实伸缩小波维函数概念,以此研究了无理数伸缩MRA小波、有良好局部化性质小波的存在性等问题.2007年,Aramba(s)I(c),Baki(c),Raji(c)得到了维函数的一些新性质,并刻划了维函数,给出了一个构造维函数的方法.本文研究联系一般伸缩矩阵A的Parseval标架小波维函数,刻划了半正交Parseval标架小波维函数的值域,给出了一个(Z)N-.周期非负整值函数是一个半正交Parseval标架小波维函数的充分必要条件.另外,进一步展开了标准正交小波维函数刻划的(D4)条件,得到了一个(Z)N-周期非负整值函数是一个标准正交小波维函数的一个新刻划.
本文主要结果如下:
定理2.2.1.对任意一个N阶伸缩矩阵A及L2((R)N)中的一个半正交A-PFWψ,Dψ的值域有以下三种可能的情况:
(1)range(Dψ)={1};
(2)存在K∈(N),使得range(Dψ)={0,1,2,…,K};
(3)range(Dψ)=(Z)+.
定理3.2.1.给定一个N阶伸缩矩阵A及一个(Z)N-周期可测函数D:(R)N→(Z)+.则D是一个半正交A-PFWψ对应的维函数等价于以下条件成立:(D1)∫TND(ξ)dξ=(‖ψ‖2/q-1);(D2)(liminf/n→∞)D(B-nξ)≥1a.e.ξ∈(R)N;(D3)D(Bξ)≤(∑/∈M)D(ξ+B-1d)≤D(Bξ)+1a.e.ξ∈(R)N;(D4)(∑k∈(Z)n)x△(ξ+k)≥D(ξ)a.e.ξ∈(R)N,其中△={ξ∈(R)N:对任意j∈(Z)+,D(B-jξ)≥1},B=AT.定理4.2.1.给定一个N阶伸缩矩阵A及一个(Z)N-周期函数D:(R)N→(Z)+.设D满足命题4.1.1中条件(D1),(D2),(D3),则以下条件等价:(1)D是一个A-小波维函数;(2)D满足命题4.1.1中条件(D4);(3)Γ(c)(∞/U/j=1(U/d∈M{0}(BjΓ—Bj-1d),且Γ(c)U/k∈(Z)N(△-k),其中Γ={ξ∈(R)N:D(ξ)≥1},△={ξ∈(R)N:对任意j∈(Z)+,D(B-jξ)≥1},B=AT.