在黎曼几何的研究中,黎曼泛函的变分问题、流形的刚性问题以及孤立子问题一直是比较重要的问题.本文对上述问题作了一些初步的探索,主要结果分为五章来阐述.在第一章中,我们给出黎曼几何的和本论文相关基本知识及重要定理,并阐述本论文的研究背景和得到的主要结果.在第二章,我们研究紧致无边流形上限制于单位体积的度量空间.M1黎曼泛函在Bach-flat条件下的临界度量问题.在不同的维数下,我们给出了该泛函的临界点为爱因斯坦度量的条件.第三章我们研究紧流形上限制在单位体积的度量空间M1上更广泛的一类二次曲率泛函在具常截曲率临界度量处的稳定性问题.在第四章,本文给出一个非紧完备黎曼流形在具循环平行Ricci张量条件下的一个刚性结果及具循环平行Ricci张量Miao-Tam临界度量一些性质.在第五章中,我们将经典的Yamabe孤立子推广到h-almost Yamabe孤立子.我们给出了该孤立子中向量场成为Killing场的两个条件,并研究了在欧氏空间超曲面上的h-almost Yamabe孤立子的分类问题.