调和映射理论具有丰富的内容和应用.调和映射已推广出多种形式,如p-调和映射、f-调和映射、F-调和映射、F-稳态映射以及Φ-调和映射等.对刘维尔型定理的研究是其重要的内容之一,研究调和映射的刘维尔型定理具有重要的理论意义.球和椭球是积分几何与凸几何分析中非常重要的几何体,在Brunn-Minkowski理论中起着重要作用,通常应用在等周问题和其他极值问题中.仿射等周不等式是等周不等式的推广,是积分几何与凸几何分析中非常重要的不等式.本论文主要研究了ΦS-调和映射的刘维尔型定理和稳定性、广义稳态映射的刘维尔型定理及Lp混合积分仿射表面积和极值问题的解、仿射等周不等式等.第一章介绍了调和映射理论和积分几何与凸几何中的Brunn-Minkowski 理论.第二章讨论了ΦS-调和映射的刘维尔型定理和稳定性.将Jin的方法推广至ΦS-调和映射,研究过程分为两步:第一步利用映射在无穷远处渐近行为的假设条件,得到ΦS-调和映射能量增长率的上界;第二步利用单调公式得到这些映射能量增长率的下界.对出发流形距离函数的Hessian加上适当的限制条件,可以得到增长率的上界和下界是矛盾的,除非ΦS-调和映射是常值映射,从而得到刘维尔型定理.利用平均变分法,证明了出发流形或目标流形是紧Φ-SSU流形的任意稳定ΦS-调和映射一定是常值的.第三章研究了广义稳态映射的单调公式和刘维尔型定理.首先考虑了从黎曼流形到标准欧氏空间的光滑映射及泛函Φε（u）.利用能量泛函的第一变分公式,定义了广义稳态映射.然后引入与泛函Φε（u）相关的应力能量张量SΦε.证明了广义稳态映射满足守恒律,即divSΦε=0.利用应力能量张量得到了一些单调公式,在泛函Φε（u）的适当的增长条件下,由这些单调公式,证明了完备流形之间的广义稳态映射的刘维尔型定理.第四章对积分仿射表面积Λj（K）关于Lp Minkowski加法进行变分,得到一个变分公式.在此变分公式的基础上,定义了新的关于凸体K,L∈Κon的j阶Lp混合积分仿射表面积Λj,p（K,L）,证明了Λj,p（K,L）是仿射不变的.然后确定了一个约束最大值问题解的存在性和唯一性,并得到了 Λj（K）的仿射等周不等式.