【摘 要】
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分数阶微分方程在科学和工程计算中具有广泛的应用背景.物理,生物,化学,金融,图像处理等领域中的许多现象都可以用分数阶微分方程来描述.特别地,分数阶扩散方程能够更准确地
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分数阶微分方程在科学和工程计算中具有广泛的应用背景.物理,生物,化学,金融,图像处理等领域中的许多现象都可以用分数阶微分方程来描述.特别地,分数阶扩散方程能够更准确地描述二阶扩散方程所不能描述的不规则扩散现象.对此类问题的数值求解,可以采用有限差分法对原问题进行离散,然后通过求解一个线性方程组来得到原问题的近似解.在本论文中,我们主要讨论了两类不同边界条件的离散分数阶扩散方程的预处理迭代算法,包括稳态和非稳态情形.具体工作如下：(1)针对Dirichlet边界条件的稳态分数阶扩散方程,通过将其转化为一个等价的分块2×2线性方程组,我们提出了基于块三角分裂的迭代算法,并在一定条件下证明了算法的收敛性.同时,我们构造出了对应的预处理子,并通过数值算例验证了预处理子的有效性.另外,针对非稳态情形,我们也提出了相应的预处理方法.(2)针对分数阶Neumann边界条件的稳态分数阶扩散方程,通过将系数矩阵分解为对角矩阵和Toeplitz矩阵以及一个秩1矩阵的组合,我们构造了相应的块三角分裂迭代算法,并讨论了对应的预处理子.数值算例表明,该预处理方法具有很好的数值效果.同时,我们也讨论了非稳态情形下的相应预处理方法.
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