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二次型G(m1,m2）:=m21+m22,G(m1,m2,m3):=m21+m22+m23,G(m1,m2,m3,m4):=m21+m22+m23+m24,…，在数论研究中十分重要.许多学者围绕二次型作了很多相关研究工作。 在二元二次型方面，余刚[41]研究了与除数问题相关的均值问题并且得到了∑1≤m1,m2≤x d(m21+m22)=A1x2logx+A2x2+O(x3/2+(∈)).(0.1) 在三元二次型方面，数论中一个重要问题就是跟球内整点相关的素数分布问题.Vinogradov[39]和陈景润[3]分别独立地证明了∑m21+m22+m23≤x mj(∈)Z1=4/3πx3/2+O（x2/3）.上式余项中x的指数被Chamizo和Iwaniec[2]改进为29/44随后Heath-Brown[12]将这一结果进一步改进为21/32.在[6]中，Friedlander和Iwaniec证明了π3(x):=∑m21+m22+m23=p≤xmj(∈)Z1～4π/3x3/2/log x.郭汝庭和翟文广[9]进一步证明了对于任意给定的A＞0，πΛ（x）:=∑m21+m22+m23≤xΛ(m21+m22+m23)=8C3I3x3/2+O(x3/2log-Ax)，其中C3和I3分别是该问题中的奇异级数和奇异积分.由上式可以得到π3(x)=12C3I3∫x2t1/2/log t dt+O(x3/2log-A x).在[1]中，Calderón和Velasco研究了与除数函数有关的均值问题并证明了S(x):=∑1≤m1,m2,m3≤x d(m21+m22+m23)=8ξ(3)/5ξ(4)x3logx+O(x3).郭汝庭和翟文广[9]将上述结果改进为S(x)=2C1I1x3logx+(C1I2+C2I1)x3+O(x8/3+(ε)),其中Ci，Ii(i=1,2)是常数.赵立璐[43]将上式中的余项进一步改进为x2log7x. 在本文中，我们首先研究了变量为四元二次型的相关问题以及该问题的几乎相等问题，其次我们研究了变量为三元二次型的自守L-函数傅里叶系数均值问题.本文的主要结果如下: 定理1令S（x):=∑1≤m1,m2,m3,m4≤x d（m21+m22+m23+m24).那么对于x≥2,我们有渐进公式S(x)=2K1L1x4log x+(K1L2+K2L1)x4+O(x7/2+(ε)),其中K1=2ξ(2)/7ξ(3),K2=4ξ(2)/7ξ(3)（y+12/7+2ξ(2)/ξ(2)-2ξ(3)/ξ(3)），L1:=∫∞-∞I1(λ)dλ，L2:=∫∞-∞I2(λ)dλ，I1(λ):=(∫10e(u2λ)du)4∫40e(-uλ)du,I2(λ):=(∫10e(u2λ)du)4∫40e(-uλ)log udu. 定理2令πΛ（x):=∑m21+m22+m23+m24≤xΛ(m21+m22+m23+m24）.那么对于任意的A＞0，我们有渐进公式πΛ（x）=16K3L3x2+O(x2log-Ax)(x≥2），(0.2)其中K3:=∞∑q=11/q4ψ(q)∑0≤a≤q(a,q)=1G4（a，0，q）Cq（-a），L3:=∫∞-∞I3(λ)dλ,I3(λ):=(∫10e(u2λ)du)4∫10e(-uλ)du.对于定理1,2相关的“几乎相等”问题，令S(x,y)=∑|mi-x|≤y d(m21+m22+m23+m24),其中y=xθ+(ε)并且0＜θ＜1.我们有以下结果: 定理3当θ≥6/7+(ε)时，我们有S(x，y)=2ξ(2)/7ξ(3)L1(x,y)+4ξ(2)/7ξ(3)（γ+12/7+2ξ(2)/ξ(2)-2ξ(3)/ξ(3)）L2(x，y)+O(y4-(ε))，其中Lj(x,y)=-1/8∑4（x-y）2＜n≤4(x+y）2(log n)2-j∑(x-y)2＜mi≤(x+y)2m1+m2+m3+m4=n(m1m2m3)-1/2,并且满足L1(x，y)(x)y4log y，L2(x，y)(x)y4. 定理4当θ=4/5时，我们有S(x，y)=2ξ(2)/7ξ(3)L1(x，y)+4ξ(2)/7ξ(3)(γ+12/7+2ξ(2)/ξ(2)-2ξ(3)/ξ(3)）L2(x，y)+O(y7/2+(∈))，其中Li(x，y)与定理3中一致. 本文中，我们还考虑了几乎相等的四个整数的平方和表素数的问题.这一问题可以确切地表述为πΛ(x，y)=∑|mi-x|≤yΛ(m21+m22+m23+m24)，其中y=xδ(0＜δ≤1).我们证明了以下结果: 定理5设δ≥15/23+2(ε).则对于任意的A＞0，πΛ(x,y)=16(G)y4+O(y4L-A),其中(G)是由(1.1)定义的奇异级数. 定理6设y=xδ满足15/23+2(ε)≤δ≤1.定义π4（x,y）=∑|mi-x|≤y m21+m22+m23+m24=p1.那么，对于任意的A＞0，我们有π4(x,y)=1/16(G)(n)+O(y4L-A)，其中(n)=∑(x-y)2＜mi≤(x+y)2(m1m2m3m4)-1/2∑4(x-y)2＜n≤4(x+y)2m1+m2+m3+m4=n1/log n(x)y4/log x. 本文最后研究了变量为三元二次型的自守L-函数傅里叶系数均值问题，令λ(n)和a(n)分别表示Maass尖形式和全纯尖形式的傅里叶系数，我们证明了以下结果: 定理7定义πλ,Λ（x）:=∑m21+m22+m23≤xλ(m21+m22+m23)Λ(m21+m22+m23).我们有πλ.Λ(x)=O(x3/2logc x),其中c＞0是一个固定的常数. 定理8定义πa,Λ（x）:=∑m21+m22+m23≤x a(m21+m22+m23)Λ(m21+m22+m23).我们有πa,Λ(x)=O(x3/2logcx),其中c＞0是一个固定的常数.