【摘 要】
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用G=（V, E）表示顶点集为V,边集为E的图.图G的一个正常k-顶点染色是指一个映射φ：V→{1，…，k},使得对任意uυ∈E（G）,满足φ（u）≠φ（υ）.若图G有一个正常k-顶点染色,那么就称图G是k-顶点可染色的（简称k-可染色的）.若图G可以嵌入到平面内使得边仅在端点处相交,则说G是一个可平面图.可平面图在平面内的任何一个具体的使得边仅在端点处相交的嵌入叫做平面图.1959年,Grotz
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用G=（V, E）表示顶点集为V,边集为E的图.图G的一个正常k-顶点染色是指一个映射φ：V→{1，…，k},使得对任意uυ∈E（G）,满足φ（u）≠φ（υ）.若图G有一个正常k-顶点染色,那么就称图G是k-顶点可染色的（简称k-可染色的）.若图G可以嵌入到平面内使得边仅在端点处相交,则说G是一个可平面图.可平面图在平面内的任何一个具体的使得边仅在端点处相交的嵌入叫做平面图.1959年,Grotzsch证明了每一个不含三角形的平面图是3-可染色的.1976年,Steinberg猜想：不含4,5-圈的平面图是3-可染色的.围绕Steinberg猜想,人们展开了一系列的研究Erdos建议去研究如下更弱的问题：是否存在常数k,使得不含4至k圈的平面图是3-可染的?1991年,Abbott和Zhou证明了这样的k是存在的,且k≤11.接着,Borodin, Sanders和Zhao分别独立地证明了k≤9.后来,Borodin等人进一步改进到k≤7,即证明了不含4,5,6,7-圈的平面图是3-可染色的.本文从不含相邻短圈的角度考虑平面图的3-染色,运用延拓性引理和粘点收缩面等方法,在第二章证明了7--圈不相邻的平面图是3-可染色的.显然该结果改进了Borodin等人所得的上述结论.作为对Steinberg猜想更进一步的研究,许宝刚于2006年证明了不含5,7-圈且不含相邻三角形的平面图是3-可染色的.但是Borodin等人在2009年找到了该文证明当中的反例（许宝刚后来对自己的证明作了修正）,并给出了该结论新的证明.本文在第三章给出了这一结论的新的证明.本文在第四章证明了：不含6,8-圈,且3-圈不与3,4-圈相邻,4-圈不与5-圈相邻的平面图是3-可染色的.该结果进一步改进了王维凡和陈敏的一个工作：不含4,6,8-圈的平面图是3-可染色的这一结论.
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