本文主要讨论了关于古田不等式的推广和应用。古田不等式是以1934年Lowner提出的著名算子不等式为基本理论，由日本数学家古田在1987年发表的已引起广泛关注的算子不等式。 第一部分主要介绍古田不等式以及一些相关结论。一方面，为了更好地了解古田不等式，列举了两个例子，并且按照这两个例子的证明方法导出了一个古田不等式的一个附属结论。另一方面，对古田不等式的残余问题进行了初步探讨。 第二部分主要讨论算子函数。首先刻画了一个负指数古田类型的算子函数，并且利用讨论古田不等式几何结构的思路来证明它在不同范围内的单调性。接着，又尝试考虑大古田不等式的负指数情况，得到了一系列的相关结论。其次，利用已有的想法构造并且证明了一个分式形式的算子单调函数，并且指出了在混沌序下的不同结论。 第三部分主要讨论古田不等式应用于广义谱几何平均的一些结果。近些年来，关于Lowner-Heinz不等式的研究促使对Hilbert空间上正算子间的算术平均的研究发展到了对正算子间几何平均的研究。1997年Fielder和：Ptak构造和研究了正定矩阵间的谱几何平均F(A，B)，并给出了相关性质。延用他们的思想，介绍的正算子问的广义谱几何平均E<,α>(A，B)进一步拓展了Fielder和Ptak的理论，通过古田不等式得到了一系列比谱几何平均F(A,B)更为一般的结果。