Moore-Penrose逆与Drazin逆是两类非常重要的广义逆,在复矩阵、Banach代数、C*-代数等领域已经取得了相对完善的成果.在这两类广义逆的研究过程中,出现了很多新型的广义逆.如2010年新引入的核逆、对偶核逆,2011年引入的Mary逆.本文主要在半群、环上研究元素的Moore-Penrose逆、Drazin逆、核逆、对偶核逆及Mary逆.第二章首先在*半群S中定义了左*-正则和右*正则的概念,证明了一个元素是左*-正则的当且仅当它是右*-正则的当且仅当它是Moore-Penrose可逆的,即a ∈ S是Moore-Penrose可逆的当且仅当存在x ∈ S使得a = aa*ax当且仅当存在y ∈ S使得a=yaa a 而且a（?）=（ax）*=（ya）*.然后,在*-环中用某些元素的单边逆给出了三个元素积的Moore-Penrose逆存在性的刻画.进一步地,考虑了元素乘积的{1,3}-逆和{1,4}-逆存在性刻画.作为应用,给出了环上的（2,2,0）矩阵的Moore-Peurose逆的存在准则和表达式.最后,在一类*-正则环中,给出了环上2 × 2矩阵的Moore-Penrose逆的表达式,改进了 Hartwig和Patricio发表在Oper.Matrices上的结果.第三章中首先研究在某些元素的*可消条件下,给出了投影元的差与积的Moore-Penrose逆存在的充分必要条件及公式.其次,考虑了幂等元的差与积的Drazin逆,给出了两个幂等元的差与积的Drazin逆存在的充要条件,推广了Cvetkovic-Ilic和Deng发表在J.Math.Anal.Appl.上的结果与Koliha等发表在Linear Algebra Appl.上的结果.第四章首先在半群中讨论centralizer的一些性质及其刻画,并在环中用centralizer和单边逆给出了正则元素的Moore-Penrose逆的存在准则及其表示,推广了 Patricio与Mendes Araujo 的Moore-Penrose逆的存在准则.然后考虑了 centralizer在 Drazin逆上的应用,给出了两个Drazin可逆元素之差的Drazin逆存在的充分必要条件,推广了Deng在Appl.Math.Comput上的结果.最后,在广义交换的条件下,考虑了 Drazin可逆元素之和的Drazin逆的存在性问题、Drazin可逆元素之积的Drazin逆的表达式.第五章首先在*-半群中引入了左g-MP逆和右g-MP逆的定义,给出了它们存在性的刻画,并在*-环中得到元素a既是左g-MP可逆的又是右g-MP可逆的当且仅当它既是核可逆的又是对偶核可逆的.然后,我们考虑了核逆的双交换性和反序律.其次,通过可逆元给出了正则元素的核逆和对偶核逆的存在准则及其表达式.作为应用,得到了环上的2 × 2矩阵的核逆与对偶核逆的存在准则及其表达式.第六章首先在半群中引入了单边Mary逆的概念,并给出了它们的存在准则.特别地,在环中用单边逆刻画了单边Mary逆的存在性.作为应用,得到了环上2×2矩阵的Mary逆的刻画和表达式,推广了 Mary和Patricio发表在Appl.Math.Comput.上的结果.然后,考虑了 Mary逆的反序律和三个元素积的Mary逆的存在准则.最后,我们在环中证明了 Mary逆的吸收律成立.