多极边界元法（FM-BEM）是近几年才发展起来的一种能快速计算的数值方法，它融合了多极展开法（FMM）和边界元法（BEM）。这种方法的计算量和存储量都与未知量的个数N成正比，使得多极边界元方法的计算效率与传统边界元方法相比有显著的提高，在个人计算机上在几小时内可实现数十万自由度的复杂工程计算，作为一种高效率的方法，多极边界元法适用于大规模实际问题计算。论文对多极边界元法求解椭圆形偏微分方程边值问题进行了详细的阐述，并对这种方法的截断误差进行了理论分析，证明该方法的准确性与有效性，使之可以广泛应用于复杂的工程计算当中。试图建立适于大规模数值计算的多极边界元法的完整基础理论体系。 论文共分五章。第1章，概述了BEM和FMM的发展历史、研究进展及现状，介绍了BEM的优点和FMM的基本思想，论述了FM-BEM的意义、研究背景、基本思想，总结了其近些年来取得的研究的最新进展。第2章，对多极边界元法求解二维位势问题进行研究，详细地推导了FM-BEM求解二维位势问题的基本公式，并讨论了相关的算法，这些为后续几章内容的研究做了铺垫。第3章提出一种基于Legendre级数展开的多极边界元法用于求解三维位势问题。给出三维位势问题Legendre级数多极边界元法的基本公式和主要步骤，并对这种方法的截断误差进行讨论。第2章和第3章的方法和结果在接下来的第4章和第5章得到扩展，并应用于二维、三维Helmholtz方程问题的求解。第4、5章，首先给出相关的边界积分方程公式，类似于位势问题，分别地给出求解二维、三维Helmholtz方程问题的多极展开理论，这是基于级数展开的FM-BEM最重要的一步。紧接着，对级数形式展开多极边界元法求解二维、三维Helmholtz方程问题的截断误差进行分析，证明了截断误差与截断项数有关，并分别地给出关于截断项数选择的表达式，这将在实际计算中发挥重要的作用。