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由于分数阶导数的非局部性质,带分数阶导数的模型能够更精确地描述具有记忆和遗传性质的材料与物理过程.在过去的二十年里,分数阶偏微分方程作为整数阶偏微分方程的推广,在高能物理、粘弹性力学、系统控制、金融等领域得到了很广泛的应用.但是,由于分数阶偏微分方程的解析解通常很难求出,或者即使能够求出也往往含有诸如Mittag-Leffler函数、Wright函数、H函数以及超几何函数等复杂且难以计算的特殊函数,这给实际计算带来了很大的困难.因此,利用数值方法求解该类方程越来越受到学者们的关注.本博士论文主要考虑几类分数阶偏微分方程的有限元数值解法,诸如高维空间时间多项分数阶扩散方程,二维非线性时空分数阶扩散波动方程,非线性空间分数阶Schrodinger方程以及非线性空间分数阶Ginzburg-Landau方程.整个论文包括如下六个部分:第一章,我们简要介绍分数阶微积分的发展历史、应用背景以及研究现状.同时,我们详细介绍了分数阶微分方程的有限元方法研究现状.最后,我们给出本文的研究动机及其工作概要.第二章,我们介绍分数阶导数的各种定义以及性质,并引入一维和二维分数阶导数空间.第三章对一类高维空间上的时间多项分数阶扩散方程引入非一致网格Galerkin有限元格式,证明了格式的稳定性及收敛性,并从数值试验上验证了该格式的有效性.第四章讨论一类二维非线性时空分数阶扩散波动方程.为克服高维问题的困难,我们在时间方向上进行了解耦,进而构造该类方程的Crank-NicolsonADI Galerkin有限元格式.我们详细证明了格式的稳定性及其收敛性,并通过数值算例来验证这些理论结果.第五章考虑非线性空间分数阶Schrodinger方程.我们构造了同时满足质量守恒以及能量守恒的有限元半离散及全离散格式,并分析了格式的适定性、保能性以及收敛性.在数值模拟中,我们验证了理论的正确性以及数值方法的可行性.第六章主要研究非线性空间分数阶Ginzburg-Landau方程的隐式中点有限元格式,我们证明了离散解的有界性,格式的适定性以及在L2范数意义下的无条件收敛性.进而通过数值算例验证了理论分析的正确性