【摘 要】
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圈是图论中的最为本质最为基本的概念和研究对象,而关于圈的研究一直是图论发展的最重要的主题和推动力之一。在这篇论文中,我们主要研究了图中的圈长分布和一些重要的图不变量（包括最小度、平均度、连通度、染色数等）之间的相互关系。我们的结果给出了圈长分布和这些不变量之间紧极值关系,并解决了一系列领域内的公开问题和猜想。本文的具体安排如下:在第一章中我们先简单的回顾了圈长度的分布的问题的发展,然后介绍了我们这
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圈是图论中的最为本质最为基本的概念和研究对象,而关于圈的研究一直是图论发展的最重要的主题和推动力之一。在这篇论文中,我们主要研究了图中的圈长分布和一些重要的图不变量（包括最小度、平均度、连通度、染色数等）之间的相互关系。我们的结果给出了圈长分布和这些不变量之间紧极值关系,并解决了一系列领域内的公开问题和猜想。本文的具体安排如下:在第一章中我们先简单的回顾了圈长度的分布的问题的发展,然后介绍了我们这篇论文中的主要结果。在第二章中,我们讨论了长度相差一或二的圈在图中的存在性的问题,证明了对于任意给定的正整数k,除去有限多个图外,如果图中度数小于3的点数至多为k,那么图中就存在长度相差一或者二的两个圈,同时这个结果也完全解决了之前Bondy和Vince的一个猜想。在第三章中,我们运用了一个统一的方法（一个关于两点间可接受路的结果）证明了下面的这几个结果:1.任意的最小度大于等于k+1的图中存在模k意义下的所有长度为偶数的圈。并且当图是二连通非二部的时候,图中存在模k意义下的所有长度的圈。2.任意的3-连通非二部的最小度大于等于k+1的图中存在k个长度连续的圈。3.任意的染色数大于等于k+2的图中存在k个长度连续的圈。在第四章中,我们讨论了圈长在模给定正整数情况下的分布的相关问题,证明了对于任意的k≥3,所有的k-连通图中存在一个长度模k余0的圈,从而解决了 Dean的一个猜想。在第五章中,我们研究了图中点不交的连续偶圈和平均度之间的关系,Ver-stra?te猜想任意的平均度大于等于k2+3k+2的图中存在k个点不交的连续偶圈,我们证明了这个猜想在k≥19且图顶点数足够多时是成立的。在第六章中,简单介绍了我一些其他工作,主要研究的是超图中的彩虹匹配的存在性问题。
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