随着数学规划、有限元和计算机硬件等工程科学计算方法和工具的发展,结构优化技术已成为产品创新设计平台不可缺少的重要组成部分。对称性化简技术常被用来求解对称的结构优化问题,以简化分析难度和节省计算量,但这种处理将只能得到对称的设计。然而近来的研究表明对称的结构优化问题可能存在非对称的全局最优解,这便意味着不合适的对称性化简将导致全局最优解的遗失。这自然地引出了一个基本理论问题“满足何种条件的对称结构优化问题,一定存在对称的全局最优解?”另一方面,自然界和工程中存在许多具有广泛应用的、拉压性质不对称的材料和结构,如混凝土、橡胶、合金、贝壳、索膜结构等,而拉压不同模量本构模型可以较好地描述其中某些材料和结构的力学响应。该非光滑性本构关系为研究工作带来了较大困难,现阶段尚没有适用于拉压不同模量材料的自洽变分原理和界限分析理论,也缺乏成熟的数值分析框架和拓扑优化求解技术,这些不足严重限制了拉压不同模量弹性理论在工程中的应用。此外,研究适用于具有非光滑本构的材料的力学基本理论和算法也具有重要的理论意义。基于以上,本文应用凸分析技术(相关的基础知识在论文第二章进行了介绍),分别针对结构优化的对称性问题和拉压不同模量材料的变分原理和界限分析理论、高效数值分析框架及拓扑优化问题开展研究。具体研究内容如下：结构优化问题全局最优解的对称性研究。首先借助群论,给出了对称的确定性结构优化问题的数学描述,提出并证明了确定性结构优化问题的对称性定理,揭示了拟凸性和连续性是保证全局最优解对称性的充分条件,并举例说明了违反这两个条件可能会导致存在非对称全局最优解的情况。而后将对称性定理分别推广至多目标和多工况的结构优化问题。对于考虑不确定性的结构优化问题,从非概率的鲁棒性结构优化设计和基于可靠度的结构优化设计两方面进行了研究,分别定义了两种不同对称性的不确定性结构优化问题,提出并证明了相关的对称性结论。这些结果推广了前人关于全局最优解对称性的认识,也为结构优化问题的对称性化简技术提供了理论依据。拉压不同模量材料的统一变分原理和复合材料界限分析理论。通过引入半定的内变量,将拉压不同模量材料分区的本构关系和应变能表达式统一地嵌入到半定规划问题中,进而给出了拉压不同模量材料的最小势能/余能原理、Hellinger-Reissner变分原理、Hu-Washizu变分原理及Hashin-Shtrikman变分原理。而后通过分别选取合适的试探场,结合最小势能/余能原理和Hashin-Shtrikman变分原理,构造了含拉压不同模量组分的复合材料等效弹性性质的界限理论,讨论了界限的可达性。求解了其等效刚度矩阵的Voigt-Reuss界限的具体表达式,说明了由于具有非光滑性,拉压不同模量复合材料的等效性质界限依赖于边界条件。这些结果将传统线弹性材料的变分原理和界限理论推广至具有非光滑本构关系的双模量材料。拉压不同模量材料的高效数值分析框架及其应用。首先运用本文建立的统一变分原理,证明了小变形假设下的拉压不同模量弹性力学边值问题兼具线性和非线性的特点。通过分析AAmbartsumyan本构关系,指出了传统迭代算法由于采用割线刚度阵将导致收敛性问题,推导了切线弹性矩阵和补全弹性矩阵,分别建立了两种在理论上具有二阶收敛率的Newton-Raphson数值分析框架,而后将相关算法推广至三维问题及考虑小应变大转动的有限变形情况。为推广该算法的工程应用,开发了适用于ABAQUS的材料用户子程序。在近似预测拉伸薄膜起褶区域和应力水平及解释细胞机械传感中反常现象方面的成功应用,展示了拉压不同模量弹性理论的潜在价值。拉压不同模量材料的结构拓扑优化问题研究。首先在SIMP框架下严格推导了拉压不同模量结构最小柔顺性设计的灵敏度结果,结合所提出的高效分析算法,给出了此类优化问题的求解方法。以两相材料为例,将单相拉压不同模量材料结构优化问题的理论结果和数值方法推广至多相拉压不同模量材料的情况。通过算例展示了,由拉压不同模量结构的最小柔顺性设计可以方便地得到近似全域拉伸或全域压缩的设计和“拉压杆模型”的设计。最后研究了双模量桁架优化问题全局最优解的对称性。结果表明,线弹性桁架优化设计的对称性结论均可以推广至双模量情况,但由于本构关系的非对称性,全局最优解的反对称性质(外荷载反对称,基结构、质量分布、位移约束等均对称的结构优化问题存在对称的全局最优解)将不再成立。