近年来,张量分析吸引了越来越多的关注。与“平面”的矩阵相比,张量作为高维数组,能够更自然地表达多数现实数据,尤其适用于数字图像,包括真实彩色图像,视频,多光谱,高光谱等。但在图像的获取以及传输过程中,由于大气、传感器、传输线路等多种因素的干扰,我们所观测到的张量可能会丢失其部分元素。这严重影响了图像质量,并且对图像的后续处理应用带来了极大的困难。张量完备旨在恢复观测张量中的丢失的元素,已经广泛适用于图像及视频填充、多光谱及高光谱数据恢复、高维网络数据分析和网络个性化推荐等领域。多年以来,矩阵的低秩性作为描述真实数据内在结构的先验知识,已经在矩阵完备问题取得较为成功的应用。但与矩阵不同,张量的秩尚无明确定义。因此准确的描述张量的低秩性是一个值得研究的问题。近年来,基于离散傅立叶变换的张量奇异值分解(t-SVD)在低秩张量完备上取得了良好的成果。本文主要基于t-SVD研究如下两个方面:一、张量奇异值分解中边界条件的研究。考虑到张量核范数(TNN)中的张量积所依赖的离散傅立叶变换假设的循环边界条件不符合实际情况。我们考虑更符合的反射边界条件并研究其对应离散余弦变换。基于离散余弦变换的张量积并通过两个张量的张量积可以等价于离散余弦变换所得张量的块托普利兹加汉克尔矩阵与块展开矩阵的乘积这一特性,我们能够快速计算张量积。在此基础上,我们提出基于离散余弦变换的张量奇异值分解以及新的张量核范数。利用新的张量核范数,我们提出新的低秩张量完备模型,并拓展交替方向乘子法解决此问题。数值试验证明我们的方法在视频和多光谱图像修复中的表现更加优秀。二、图像深度学习先验的研究。仅凭低秩项不足以有效地进行张量完备,我们选择增加额外的基于深度学习的图像先验信息来提升效果。我们采用卷积神经网络对多维图像的空间域中的前向切片进行正则化,基于深度学习的正则项能够很好地保留图像的细节。同时,对于低采样率的情况,这种数据驱动的正则项也完善了以前低秩张量完备的缺陷。为了有效地解决所提出的模型,我们在高度灵活的即插即用(PnP)框架下,拓展了交替方向乘子法,这使得我们可以插入静态的深层去噪器使用。大量的数值实验结果表明我们提出的方法能够恢复更好的细节,较之传统方法有着巨大的优势。